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勾股定理的证明方法

发布网友 发布时间:2022-04-21 18:47

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热心网友 时间:2022-05-16 15:49

证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.
  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠EGF = ∠BED,
  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
  又∵ AB = BE = EG = GA = c,
  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠ABC = ∠EBD.
  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
  即 ∠CBD= 90°
  又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
  BC = BD = a.
  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
  设多边形GHCBE的面积为S,则
  A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
  F作FN⊥PQ,垂足为N.
  ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
  ∴ ∠MPC = 90°,
  ∵ BM⊥PQ,
  ∴ ∠BMP = 90°,
  ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。
  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
  ∴ ∠QBM = ∠ABC,
  又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.
  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
  ∴FI=a,
  ∴G,I,J在同一直线上,
  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
  ∠CJB = ∠CFD = 90°,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
  同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
  ∴∠ABG = ∠BCJ,
  ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
  ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
  ∵∠ABC= 90°,
  ∴G,B,I,J在同一直线上,
  A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
  BF、CD. 过C作CL⊥DE,
  交AB于点M,交DE于点L.
  ∵ AF = AC,AB = AD,
  ∠FAB = ∠GAD,
  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
  ∵ ΔFAB的面积等于,
  ΔGAD的面积等于矩形ADLM
  的面积的一半,
  ∴ 矩形ADLM的面积 =.
  同理可证,矩形MLEB的面积 =.
  ∵ 正方形ADEB的面积
  = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
  ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明
  在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
  在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:
  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
  其证明如下:
  设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高
  通过证明三角形相似则有射影定理如下:
  (1)(BD)2;=AD·DC,
  (2)(AB)2;=AD·AC ,
  (3)(BC)2;=CD·AC 。
  由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,
  图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。
   图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
  4×(ab/2)+(b-a)2;=c2; 
  化简后便可得:a2;+b2;=c2;
  亦即:c=(a2;+b2;)1/2
  勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
  我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
  在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
  在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
  前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
  1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
  2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
  3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。
  4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。
  5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。
  证明:
  第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
  第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
  因为S1=S2
  所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
  又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
  所以OF2+OE2=E'F'2
  因为E'F'=EF
  所以OF2+OE2=EF2
  勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下: b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)
  矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直
  角三角形。
  (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab
  2b2; - b2;+ a2;= c2;
  a2; + b2;= c2;
  注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。

热心网友 时间:2022-05-16 15:49

这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition(《毕达哥拉斯命题》)一书中总共提到367种证明方式。   有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.   ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,   ∴ ∠EGF = ∠BED,   ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,   ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,   ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°   又∵ AB = BE = EG = GA = c,   ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。   ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°   ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,   ∴ ∠ABC = ∠EBD.   ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°   即 ∠CBD= 90°   又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,   BC = BD = a.   ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。   同理,HPFG是一个边长为b的正方形.   设多边形GHCBE的面积为S,则   A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.   过点Q作QP∥BC,交AC于点P.   过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点   F作FN⊥PQ,垂足为N.   ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,   ∴ ∠MPC = 90°,   ∵ BM⊥PQ,   ∴ ∠BMP = 90°,   ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。   ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,   ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,   ∴ ∠QBM = ∠ABC,   又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,   ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.   同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.   分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,   ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,   ∴FI=a,   ∴G,I,J在同一直线上,   ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,   ∠CJB = ∠CFD = 90°,   ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,   同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,   ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE   ∴∠ABG = ∠BCJ,   ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,   ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,   ∵∠ABC= 90°,   ∴G,B,I,J在同一直线上,   A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结   BF、CD. 过C作CL⊥DE,   交AB于点M,交DE于点L.   ∵ AF = AC,AB = AD,   ∠FAB = ∠GAD,   ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,   ∵ ΔFAB的面积等于,   ΔGAD的面积等于矩形ADLM   的面积的一半,   ∴ 矩形ADLM的面积 =.   同理可证,矩形MLEB的面积 =.   ∵ 正方形ADEB的面积   = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积   ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明   在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。   在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:   如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。   其证明如下:   设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高   通过证明三角形相似则有射影定理如下:   (1)(BD)2;=AD·DC,   (2)(AB)2;=AD·AC ,   (3)(BC)2;=CD·AC 。   由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,   图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。    图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:   4×(ab/2)+(b-a)2;=c2;    化简后便可得:a2;+b2;=c2;   亦即:c=(a2;+b2;)1/2   勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。   我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。   在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。   在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.   前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。   1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。   2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。   3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。   4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。   5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。   证明:   第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE   第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'   因为S1=S2   所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'   又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF   所以OF2+OE2=E'F'2   因为E'F'=EF   所以OF2+OE2=EF2   勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下:
b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)   矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直   角三角形。   (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab   2b2; - b2;+ a2;= c2;   a2; + b2;= c2;   注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。
编辑本段习题及答案
  将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a2+b2=c2.   答案   证明:作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上,连接AA' 、BB', 延长B'A'交AB于点M 。   ∵△A'B'C是由△ABC旋转所得   ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C   ∴∠A'B'C=∠ABC   延长B'A'交AB于点M   则∠A'B'C+∠B'A'C=90°   而∠B'A'C=∠MA'B(对顶角相等)   ∴∠MBA'+MA'B=90°   ∴B'M⊥AB   ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM   ∴A'B/AB=A'M/AC   即(a-b)/c=A'M/b   ∴A'M=(a-b)·b/c   ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M]   =(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c]   =(1/2)c2+(1/2)(a-b)·b   =(1/2)[c2+ab-b2]   S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab)   而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B   ∴(1/2)[c2+ab-b2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a2-ab)   则c2+ab-b2=2ab+a2-ab   ∴a2+b2=c2.

热心网友 时间:2022-05-16 15:50

证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.
  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠EGF = ∠BED,
  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
  又∵ AB = BE = EG = GA = c,
  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠ABC = ∠EBD.
  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
  即 ∠CBD= 90°
  又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
  BC = BD = a.
  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
  设多边形GHCBE的面积为S,则
  A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
  F作FN⊥PQ,垂足为N.
  ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
  ∴ ∠MPC = 90°,
  ∵ BM⊥PQ,
  ∴ ∠BMP = 90°,
  ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。
  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
  ∴ ∠QBM = ∠ABC,
  又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.
  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
  ∴FI=a,
  ∴G,I,J在同一直线上,
  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
  ∠CJB = ∠CFD = 90°,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
  同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
  ∴∠ABG = ∠BCJ,
  ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
  ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
  ∵∠ABC= 90°,
  ∴G,B,I,J在同一直线上,
  A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
  BF、CD. 过C作CL⊥DE,
  交AB于点M,交DE于点L.
  ∵ AF = AC,AB = AD,
  ∠FAB = ∠GAD,
  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
  ∵ ΔFAB的面积等于,
  ΔGAD的面积等于矩形ADLM
  的面积的一半,
  ∴ 矩形ADLM的面积 =.
  同理可证,矩形MLEB的面积 =.
  ∵ 正方形ADEB的面积
  = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
  ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明
  在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
  在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:
  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
  其证明如下:
  设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高
  通过证明三角形相似则有射影定理如下:
  (1)(BD)2;=AD·DC,
  (2)(AB)2;=AD·AC ,
  (3)(BC)2;=CD·AC 。
  由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,
  图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。
   图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
  4×(ab/2)+(b-a)2;=c2; 
  化简后便可得:a2;+b2;=c2;
  亦即:c=(a2;+b2;)1/2
  勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
  我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
  在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
  在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
  前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
  1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
  2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
  3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。
  4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。
  5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。
  证明:
  第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
  第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
  因为S1=S2
  所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
  又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
  所以OF2+OE2=E'F'2
  因为E'F'=EF
  所以OF2+OE2=EF2
  勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下: b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)
  矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直
  角三角形。
  (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab
  2b2; - b2;+ a2;= c2;
  a2; + b2;= c2;
  注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。

热心网友 时间:2022-05-16 15:50

大的正方形里套一个斜放的小正方形,顶点在大正方形的边上(不要在中点上),大正方形面积等于四个直角三角形(边长为a, b )面积之和加上中间小正方形面积。
列出式子,整理一下即可得到勾股定理。

大的正方形边长=a+b, 其面积=(a+b)^2 =a^2 +b^2 + 2ab
小的正方形边长为c, 则其面积=c^2
三角形面积=ab/2, 四个三角形面积=2ab
由此得到 c^2 + 2ab = a^2 +b^2 + 2ab
消去 2ab, 即得 a^2 +b^2 = c^2

热心网友 时间:2022-05-16 15:51

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.   过点Q作QP∥BC,交AC于点P.   过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点   F作FN⊥PQ,垂足为N.   ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,   ∴ ∠MPC = 90°,   ∵ BM⊥PQ,   ∴ ∠BMP = 90°,   ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。   ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,   ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,   ∴ ∠QBM = ∠ABC,   又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,   ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.   同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

热心网友 时间:2022-05-16 15:49

证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.
  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠EGF = ∠BED,
  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
  又∵ AB = BE = EG = GA = c,
  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠ABC = ∠EBD.
  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
  即 ∠CBD= 90°
  又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
  BC = BD = a.
  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
  设多边形GHCBE的面积为S,则
  A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
  F作FN⊥PQ,垂足为N.
  ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
  ∴ ∠MPC = 90°,
  ∵ BM⊥PQ,
  ∴ ∠BMP = 90°,
  ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。
  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
  ∴ ∠QBM = ∠ABC,
  又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.
  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
  ∴FI=a,
  ∴G,I,J在同一直线上,
  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
  ∠CJB = ∠CFD = 90°,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
  同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
  ∴∠ABG = ∠BCJ,
  ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
  ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
  ∵∠ABC= 90°,
  ∴G,B,I,J在同一直线上,
  A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
  BF、CD. 过C作CL⊥DE,
  交AB于点M,交DE于点L.
  ∵ AF = AC,AB = AD,
  ∠FAB = ∠GAD,
  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
  ∵ ΔFAB的面积等于,
  ΔGAD的面积等于矩形ADLM
  的面积的一半,
  ∴ 矩形ADLM的面积 =.
  同理可证,矩形MLEB的面积 =.
  ∵ 正方形ADEB的面积
  = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
  ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明
  在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
  在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:
  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
  其证明如下:
  设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高
  通过证明三角形相似则有射影定理如下:
  (1)(BD)2;=AD·DC,
  (2)(AB)2;=AD·AC ,
  (3)(BC)2;=CD·AC 。
  由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,
  图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。
   图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
  4×(ab/2)+(b-a)2;=c2; 
  化简后便可得:a2;+b2;=c2;
  亦即:c=(a2;+b2;)1/2
  勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
  我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
  在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
  在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
  前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
  1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
  2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
  3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。
  4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。
  5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。
  证明:
  第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
  第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
  因为S1=S2
  所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
  又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
  所以OF2+OE2=E'F'2
  因为E'F'=EF
  所以OF2+OE2=EF2
  勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下: b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)
  矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直
  角三角形。
  (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab
  2b2; - b2;+ a2;= c2;
  a2; + b2;= c2;
  注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。

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这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition(《毕达哥拉斯命题》)一书中总共提到367种证明方式。   有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.   ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,   ∴ ∠EGF = ∠BED,   ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,   ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,   ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°   又∵ AB = BE = EG = GA = c,   ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。   ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°   ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,   ∴ ∠ABC = ∠EBD.   ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°   即 ∠CBD= 90°   又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,   BC = BD = a.   ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。   同理,HPFG是一个边长为b的正方形.   设多边形GHCBE的面积为S,则   A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.   过点Q作QP∥BC,交AC于点P.   过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点   F作FN⊥PQ,垂足为N.   ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,   ∴ ∠MPC = 90°,   ∵ BM⊥PQ,   ∴ ∠BMP = 90°,   ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。   ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,   ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,   ∴ ∠QBM = ∠ABC,   又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,   ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.   同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.   分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,   ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,   ∴FI=a,   ∴G,I,J在同一直线上,   ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,   ∠CJB = ∠CFD = 90°,   ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,   同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,   ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE   ∴∠ABG = ∠BCJ,   ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,   ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,   ∵∠ABC= 90°,   ∴G,B,I,J在同一直线上,   A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结   BF、CD. 过C作CL⊥DE,   交AB于点M,交DE于点L.   ∵ AF = AC,AB = AD,   ∠FAB = ∠GAD,   ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,   ∵ ΔFAB的面积等于,   ΔGAD的面积等于矩形ADLM   的面积的一半,   ∴ 矩形ADLM的面积 =.   同理可证,矩形MLEB的面积 =.   ∵ 正方形ADEB的面积   = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积   ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明   在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。   在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:   如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。   其证明如下:   设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高   通过证明三角形相似则有射影定理如下:   (1)(BD)2;=AD·DC,   (2)(AB)2;=AD·AC ,   (3)(BC)2;=CD·AC 。   由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,   图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。    图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:   4×(ab/2)+(b-a)2;=c2;    化简后便可得:a2;+b2;=c2;   亦即:c=(a2;+b2;)1/2   勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。   我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。   在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。   在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.   前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。   1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。   2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。   3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。   4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。   5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。   证明:   第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE   第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'   因为S1=S2   所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'   又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF   所以OF2+OE2=E'F'2   因为E'F'=EF   所以OF2+OE2=EF2   勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下:
b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)   矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直   角三角形。   (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab   2b2; - b2;+ a2;= c2;   a2; + b2;= c2;   注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。
编辑本段习题及答案
  将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a2+b2=c2.   答案   证明:作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上,连接AA' 、BB', 延长B'A'交AB于点M 。   ∵△A'B'C是由△ABC旋转所得   ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C   ∴∠A'B'C=∠ABC   延长B'A'交AB于点M   则∠A'B'C+∠B'A'C=90°   而∠B'A'C=∠MA'B(对顶角相等)   ∴∠MBA'+MA'B=90°   ∴B'M⊥AB   ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM   ∴A'B/AB=A'M/AC   即(a-b)/c=A'M/b   ∴A'M=(a-b)·b/c   ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M]   =(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c]   =(1/2)c2+(1/2)(a-b)·b   =(1/2)[c2+ab-b2]   S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab)   而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B   ∴(1/2)[c2+ab-b2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a2-ab)   则c2+ab-b2=2ab+a2-ab   ∴a2+b2=c2.

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证法1
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.
  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠EGF = ∠BED,
  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
  ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
  又∵ AB = BE = EG = GA = c,
  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠ABC = ∠EBD.
  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
  即 ∠CBD= 90°
  又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
  BC = BD = a.
  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
  设多边形GHCBE的面积为S,则
  A2+B2=C2
证法2
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
  F作FN⊥PQ,垂足为N.
  ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
  ∴ ∠MPC = 90°,
  ∵ BM⊥PQ,
  ∴ ∠BMP = 90°,
  ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。
  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
  ∴ ∠QBM = ∠ABC,
  又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形.
  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
  ∴FI=a,
  ∴G,I,J在同一直线上,
  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
  ∠CJB = ∠CFD = 90°,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
  同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
  ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
  ∴∠ABG = ∠BCJ,
  ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
  ∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
  ∵∠ABC= 90°,
  ∴G,B,I,J在同一直线上,
  A2+B2=C2。
证法4
  作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
  BF、CD. 过C作CL⊥DE,
  交AB于点M,交DE于点L.
  ∵ AF = AC,AB = AD,
  ∠FAB = ∠GAD,
  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
  ∵ ΔFAB的面积等于,
  ΔGAD的面积等于矩形ADLM
  的面积的一半,
  ∴ 矩形ADLM的面积 =.
  同理可证,矩形MLEB的面积 =.
  ∵ 正方形ADEB的面积
  = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
  ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
  《几何原本》中的证明
  在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
  在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:
  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
  其证明如下:
  设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。 把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
  如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高
  通过证明三角形相似则有射影定理如下:
  (1)(BD)2;=AD·DC,
  (2)(AB)2;=AD·AC ,
  (3)(BC)2;=CD·AC 。
  由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;,
  图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。
   图1
证法七(赵爽弦图)
  在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
  4×(ab/2)+(b-a)2;=c2; 
  化简后便可得:a2;+b2;=c2;
  亦即:c=(a2;+b2;)1/2
  勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
  我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
  在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
  在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
  前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
  1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
  2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
  3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。
  4. 李继闵: 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。
  5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
   达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。
  证明:
  第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
  第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
  因为S1=S2
  所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
  又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
  所以OF2+OE2=E'F'2
  因为E'F'=EF
  所以OF2+OE2=EF2
  勾股定理得证。
证法9
  从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下: b ( a + b )= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)
  矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直
  角三角形。
  (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab
  2b2; - b2;+ a2;= c2;
  a2; + b2;= c2;
  注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。

热心网友 时间:2022-05-16 15:50

大的正方形里套一个斜放的小正方形,顶点在大正方形的边上(不要在中点上),大正方形面积等于四个直角三角形(边长为a, b )面积之和加上中间小正方形面积。
列出式子,整理一下即可得到勾股定理。

大的正方形边长=a+b, 其面积=(a+b)^2 =a^2 +b^2 + 2ab
小的正方形边长为c, 则其面积=c^2
三角形面积=ab/2, 四个三角形面积=2ab
由此得到 c^2 + 2ab = a^2 +b^2 + 2ab
消去 2ab, 即得 a^2 +b^2 = c^2

热心网友 时间:2022-05-16 15:51

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.   过点Q作QP∥BC,交AC于点P.   过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点   F作FN⊥PQ,垂足为N.   ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,   ∴ ∠MPC = 90°,   ∵ BM⊥PQ,   ∴ ∠BMP = 90°,   ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。   ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,   ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,   ∴ ∠QBM = ∠ABC,   又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,   ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.   同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
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