...a+2)x+alnx.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的极小值;(Ⅱ)当a=-1时,过坐...
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发布时间：2025-01-10 15:47
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时间：2025-01-10 15:52
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x-3+1x=2x2?3x+1x=(x?1)(2x?1)x，…2分
当0＜x＜12时，f′（x）＞0；当12＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）当a=-1时，f′（x）=2x-1-1x（x＞0），所以切线的斜率
k=2m-1-1m=2m2?m?1m=nm=m2?m?lnmm，整理可得m2+lnm-1=0，
显然m=1是方程的解，又因为函数y=x2+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：
h（x）=(2x0+8x0?10)(x?x0)+x02?10x0+8lnx0，
设F（x）=f（x）-h（x），则F（x0）=0，F′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+8x?10）-（2x0+8x0?10）=2x（x-x0）（x-4x0）
若0＜x0＜2，F（x）在（x0，4x0）上单调递减，所以当x∈（x0，4x0）时，
F（x）＜F（x0）=0，此时F(x)x?x0＜0，
若x0＞2，F（x）在（4x0，x0）上单调递减，所以当x∈（4x0，x0）时，
F（x）＞F（x0）=0，此时F(x)x?x0＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，
若x0=2时，F′（x）=2x(x?2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，
故点P（x0，f（x0））为“转点”，
故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分
