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...且OP=10,在OA上有一点Q,在OB上有一点R,使△PQR的

发布网友发布时间：2024-10-22 04:41

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热心网友时间：2024-10-23 01:57

∠AOB＝30°，在∠AOB内有一点P且OP＝10，在OA、OB上分别有点Q、R，若△PQR的周长最小，则最周长是多少？
［解］
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D。连CD，则CD与OA、OB的交点就是Q、R。
下面证明这一结论：
∵P、C关于OA对称，∴PQ＝CQ。
∵P、D关于OB对称，∴PR＝DR。
∴△PQR的周长＝PQ＋QR＋PR＝CQ＋QR＋DR＝CD。······①

显然，在OA、OB上任取异于Q、R的两点M、N，则：CM＋MN＋DN＞CD。
很明显，PM＝CM、PN＝DN，
∴此时△PQR的周长＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＞CD。······②
由①、②，得：CD与OA、OB的交点就是Q、R。

∵P、C关于OA对称，∴∠COA＝∠POA。
∵P、D关于OB对称，∴∠DOB＝∠POB。
∴∠COA＋∠DOB＝∠POA＋∠POB＝∠AOB＝30°，
∴∠COD＝∠COA＋∠AOB＋∠DOB＝60°，又显然有：CO＝DO＝PO，
∴△COD是等边三角形，∴CD＝CO＝PO＝10。
∴△PQR的周长为10。

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