...PO=10,Q、P分别是OA,OB上的动点。三角形PQR周长最
发布网友
发布时间:2024-10-22 04:41
我来回答
共1个回答
热心网友
时间:2024-10-23 16:20
Q,R分别是OA,OB上的点,设P关于OA的对称点为P1,关于OB的对称点为P2,则
PQ=P1Q,PR=P2R,
∴△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R<=P1P2,
当P1,Q,R,P2共线时取等号,
这时,∠AOB=45°,∴∠P1OP2=90°,PO=10,P1P2=10√2,
设PP1=x,则PP2=10√2-x,设∠OPP1=a,则∠OPP2=180°-a,
由余弦定理,OP1^2=100+x^2-20xcosa,
OP2^2=100+(10√2-x)^2+20(10√2-x)cosa,
由OP1^2+OP2^2=P1P2^2得x^2-20xcosa+(10√2-x)^2+20(10√2-x)cosa=0,
2x^2-20(√2+2cosa)x+200+200√2coa=0,
x^2-10(√2+2cosa)x+100+100√2coa=0,
△/4=25(√2+2cosa)^2-(100+100√2cosa)
=-50+100(cosa)^2
=50cos2a=0,
a=45°,
答:∠QPO,∠RPO分别是45°,135°.