求由曲线Y=X平方与X=Y的平方围成的平面图形的面积
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发布时间：2024-10-22 00:21
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时间：2024-10-22 01:16
欲求由曲线\(Y=X^2\)与\(X=Y^2\)围成的平面图形的面积，需通过积分求解。
首先，确定交点。令\(Y=X^2\)与\(X=Y^2\)相等，得\(X^2=X\)，解得\(X=0,1\)，即交点坐标为(0,0)和(1,1)。
分析可知，要对称求解面积，可将图形分为两部分，分别求面积后相加。设\(S\)为由曲线\(Y=X^2\)与\(X=Y^2\)围成的图形面积。
对第一部分，从\(0\)到\(1\)，\(Y=X^2\)为下界，\(X=Y^2\)为上界，因此面积为积分\(\int_0^1 (X=Y^2 - Y=X^2) dX\)，即\(\int_0^1 (X^2-\sqrt{X}) dX\)。
计算此积分得\(S_1 = \frac{1}{3}\)。
对于第二部分，对称性表明面积计算相同，因此总面积\(S = 2S_1 = \frac{2}{3}\)。
接着，对由曲线\(Y=Y^4\)与\(X=Y^2\)围成的图形面积求解，可设面积为\(S'\)。
令\(Y=Y^4\)与\(X=Y^2\)相等，得\(Y=Y^4\)，解得\(Y=0,1\)，交点坐标为(0,0)和(1,1)。
对\(S'\)，在\(0\)到\(1\)区间，\(Y=Y^4\)为下界，\(X=Y^2\)为上界，故面积为积分\(\int_0^1 (X=Y^2 - Y=Y^4) dY\)，即\(\int_0^1 (Y^2-Y^4) dY\)。
计算此积分得\(S' = \frac{3}{10}\pi\)。
综上，由曲线\(Y=X^2\)与\(X=Y^2\)围成的平面图形的面积为\(\frac{2}{3}\)，而由曲线\(Y=Y^4\)与\(X=Y^2\)围成的平面图形的面积为\(\frac{3}{10}\pi\)。
