可降阶的高阶微分方程yy''-y'^2-y^2y'=0
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发布时间：2024-10-24 13:20
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时间：2024-10-27 04:07
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令p=y'，那么y"=dp/dx=(dp/dy)/(dx/dy)=pdp/dy
原式就转为：p(dp/dy)+p2+1=0
整理得到p关于y的伯努利方程：(dp/dy)+p=1/p
再令z=p2，那么dz/dy=d(p2)/dy=2pdp/dy
代入上式整理得：dz/dy+2z+2=0
分离变量解得：ln|z+1|=-2y+M………………M为任意常数
两边取为e的指数，得到：z+1=Nexp(-2y)………………N=expM为大于零的任意常数
将z=p2=(y')2代入上式，直接分离变量就能得出结果，具体结果就留给你自行计算了。
第二题：
同上题原理，令p=y'，那么y"=dp/dx=(dp/dy)/(dx/dy)=pdp/dy
原式就转化为：py(dp/dy)-p2-1=0
同样令z=p2，再将上式简化为：ydz/dy-2z-2=0
同样分离变量解得：ln|z+1|=2ln|y|+M
两边取为e的指数，得到：z+1=Ny2
后面的步骤类似方法处理。
第三题：
逆推求方程的关键是消去解中的任意常数C，观察已知解中仅有一个常数，那么所求方程必定为一阶微分方程，先对方程两端关于x求导得到：
2(x+C)+2yy'=0
即x+C=-yy'
将上式代回原式得到：(yy')2+y2=1
整理得到：(y')2+1=1/y2
