物理上的傅里叶级数、傅里叶变换
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发布时间：2024-10-24 03:43
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时间：2024-11-16 07:33
从物理角度出发，对傅里叶理论进行简要回顾，避免深入数学推导，以便更好地应用于物理问题。以下内容将不断更新。
傅里叶级数周期函数：存在实数非零λ，对所有变量t，函数f(t)满足f(t+λ)=f(t)，则称f(t)为周期函数，λ为f(t)的周期。对于整数n，nλ也是函数的周期。最小正周期记为T，在物理中称为周期。例如，常见三角函数是周期函数，周期为T，或者周期形式的e指数，给出λ，T，有两种形式，根据欧拉公式，T仍为T。一般地，f(t)可以有周期nλ，但最小正周期为T。
特殊情况：给定定义在区间[-π, π]上的函数f(t)，显然不是周期函数，但可以周期延拓，定义新函数F(t)以f(t)在区间内的形式进行周期平移，给出全空间的定义，则其周期为2π，如果f(t)且F(t)连续，则F(t)连续。
利用傅里叶级数展开周期函数：给定函数f(t)具有最小正周期T，满足某些数学条件（物理上常见的周期函数都会满足），可以展开成e指数或三角函数的形式。
傅里叶变换：傅里叶级数的极限，考虑函数f(t)不一定是周期的，仍想使用上述过程，给出新函数F(t)以L为周期的函数，在区间[-L, L]与f(t)相同，F(t)可以利用傅里叶级数展开。
量子力学中的傅里叶变换：量子力学中，波函数ψ的傅里叶变换ψ(p)定义为∫ψ(k)e^(ikpx)dk，反变换公式为ψ(x)=∫ψ(p)e^(-ipx)dp。
一些基本性质：(i)傅里叶变换满足交换律；(ii)傅里叶变换满足结合律；(iii)傅里叶变换是实数函数的傅里叶变换；(iv)傅里叶变换是纯虚数函数的傅里叶变换；(v)傅里叶变换的n阶导数；(vi)傅里叶变换的卷积。
Parseval-Plancherel公式：傅里叶变换满足Parseval-Plancherel公式。
三维空间中的傅里叶变换：[公式]
