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发布时间：2024-10-15 00:13
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时间：2024-10-15 00:30
全纯函数的性质因其独特的微分特性而引人关注。首先，它们的线性性以及遵循积、商和链式法则，使得全纯函数的和、积和复合运算依然保持全纯性。具体来说，只要分母不为零，两个全纯函数的商也是全纯的。
全纯函数的特性还体现在其无穷可微性上，这意味着它们在每一点都具备微分的无限次扩展性。此外，每个全纯函数与其泰勒级数完全等价，而这些级数在定义域U内部的任意开圆盘上具有收敛性。例如，对数的泰勒级数在不包括0的所有圆盘上，甚至在复实轴的邻域内，都能收敛。更深入的分析可以参考全纯函数的解析理论。
当我们将C和R2等同起来时，全纯函数与满足柯西-黎曼方程的双实变量函数是一致的，这个方程组由两个偏微分方程构成，揭示了它们的几何特性。
在非零导数的点附近，全纯函数表现出共形性，即它们保持小图形的角度和形状不变，尽管可能改变大小。这显示了全纯函数在局部几何上的保角性质。
最后，柯西积分公式揭示了一个重要的定理，即每个全纯函数在圆盘内的任何点的值完全由它在圆盘边界上的函数值所决定，这是全纯函数解析性质的一个关键体现。
全纯函数(Holomorphic functions)是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在C中取值的函数，在每点复可微。这是比实可微强得多的条件，它表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述。解析函数(analytic function)一词经常可以和"全纯函数"互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。一个在整个复平面上全纯的函数称为整函数(entire function)。"在一点a全纯"不仅表示在a可微,而且表示在某个中心为a的复平面的开邻域可微。双全纯(Biholomorphic)表示一个有全纯逆函数的全纯函数。
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