发布网友 发布时间:2024-10-20 17:31
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热心网友 时间:2024-11-11 08:16
一个函数y=ƒ(x),隐含在给定的方程 F(x,y)=0中,作为这方程的一个解(函数)。
隐函数不一定能写为y=f(x)的形式,如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量,D是实数集的某个子集,若对于D中的每个值x,变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应,称变量y为变量x的函数,记作 y=f(x).”的定义,隐函数不一定是“函数”,而是“方程”。其实总的说来,函数都是方程,但方程却不一定是函数。
对于一个已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y' 的一个方程,然后化简得到 y' 的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
方法①:先把隐函数转化成显函数,再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子,若欲求z = f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式,然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。