设可微函数f(x)满足limx→0f(x)x=0,xf′(x)+∫x0f(x-u)du=sin2x,则...
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发布时间:2024-10-20 14:10
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时间:2024-12-01 05:47
因为f(x)可微,
所以f(x)连续,则由limx→0f(x)x=0,可得:
f(0)=0,f′(0)=limx→0f(x)?f(0)x?0=0,
令t=x-u,得:∫x0f(x?u)du=∫x0f(t)dt,
从而:
xf′(x)+∫x0f(x?u)du=xf′(x)+∫x0f(t)dt
由:xf′(x)+∫x0f(x?u)du=sin2x,
得:
f′(x)=sin2x?∫x0f(t)dtx,x≠0,
∴f″(0)=limx→0f′(x)?f′(0)x?0=limx→0sin2x?∫x0f(t)dtx2
=limx→0sin2xx2?limx→0∫x0f(t)dtx2=1?limx→0f(x)2x=1?0=1>0,
从而:f′(0)=0,f″(0)>0,
∴f(0)是f(x)的极小值,
故选:A.