设f(x)在(-∞,0]上连续,且满足∫x0tf(t2-x2)dt=x21+x2-12ln(1+x2...
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发布时间:2024-10-20 14:10
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时间:2024-11-07 15:07
解答:解 令u=t2-x2,du=2tdt,∫x0tf(t2?x2)dt=12∫0?x2f(u)du,
故12∫0?x2f(u)du=x21+x2?12ln(1+x2),
再令t=-x2,12∫0tf(u)du=?t1?t?12ln(1?t)
即∫t0f(u)du=?2t1?t?ln(1?t),
对t求导,得f(t)=2(1?t)2?11?t=1+t(1?t)2 (t<0),
故f(x)=1+x(1?x)2 (x<0)f′(x)=3+x(1?x)3=0?x=?3,
当x<-3时,f'(x)<0,当-3<x<0时,f'(x)>0,
所以x=-3,f(x)取得极小值f(?3)=?18.