...≥0.试证函数F(x)=1x∫x0tnf(t)dt,若x>00,若x=0
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发布时间:2024-10-20 14:10
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时间:2024-11-19 04:09
解答:证明:显然当x>0时,F(x)连续,又
limx→0+F(x)=limx→0+∫x0tnf(t)dtx
=limx→0+xnf(x)(洛必达法则)
=F(0)
所以:函数F(x)在[0,+∞]上连续.
当x∈[0,+∞]时:
F'(x)=(∫x0tnf(t)dtx)'
=xn+1f(x)?∫x0tnf(t)dtx2
又因为,由微分中值定理有:
∫x0tnf(t)dt=ζnf(ζ)x ζ∈(0,x)
因此:F'(x)=xn+1f(x)?∫x0tnf(t)dtx2
=xn+1f(x)?ζnf(ζ)xx2
=xnf(x)?ζnf(ζ)x
=xnf(x)?xnf(ζ)+xnf(ζ)?ζnf(ζ)x
=xn[f(x)?f(ζ)]+f(ζ)(xn?ζn)x
因为:ζ∈(0,x),所以:xn-ζn>0;
又:f(x)单调不减,且f(x)≥f(ζ)≥f(0)≥0
因此:f(x)-f(ζ)≥0;
所以有:当x∈[0,+∞]时,
F'(x)=xn[f(x)?f(ζ)]+f(ζ)(xn?ζn)x≥0
因此,F(x)在x∈[0,+∞]上单调不减.
命题得证.