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已知函数y=x3(x?1)2,求:(1)函数的增减区间及极值;(2)函数图形的凹凸区间...

发布网友发布时间：2024-10-20 14:10

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热心网友时间：2024-10-31 03:40

∵y′＝3x2(x?1)2?2x3(x?1)(x?1)4=x3?3x2(x?1)3＝x2(x?3)(x?1)3
y″＝(3x2?6x)(x?1)3?(x3?3x2)3(x?1)2(x?1)6=6x(x?1)4
令y′=0，得：x=0，x=3
令y''=0，得；x=0
将函数的定义域分区间列表讨论如下：
x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞） y’ ＞0 0 ＞0 不存在＜0 0 ＞0 y’’ ＜0 0 ＞0 不存在＞0 ＞0 ＞0 y的性质单调递增，凸拐点单调递增，凹无定义单调递减，凹极小值点单调递增，凹故：
（1）y的单调递增区间为：（-∞，1）∪（3，+∞）；单调递减区间为：（1，3）．y的极小值为y|x＝3＝274
（2）曲线y的凹区间为：（0，1）∪（1，+∞）；凸区间为：（-∞，0）；拐点是：（0，0）
（3）∵limx→∞y＝∞，故y无水平渐近线
又limx→1y＝+∞，故x=1是y的垂直渐近线
而limx→∞yx＝limx→1x2(x?1)2＝1，limx→∞[y?x]＝limx→∞[x3(x?1)2?x]＝2，故：y=x+2是y的斜渐近线．

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