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...∫x0tf(2x?t)dt=12arctanx2.已知f(1)=1,求∫21f(x)dx的值

发布网友 发布时间:2024-10-20 14:10

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2个回答

热心网友 时间:2024-11-07 15:37

令u=2x-t,则t=2x-u,dt=-du;于是有:
∫x0tf(2x?t)dt=?∫x2x(2x?u)f(u)du=∫2xx(2x?u)f(u)du
=2x∫2xxf(u)du-∫2xxuf(u)du
即:∫x0tf(2x?t)dt=2x∫2xxf(u)du-∫2xxuf(u)du
又有:∫x0tf(2x?t)dt=12arctanx2;
因此有:2x∫2xxf(u)du-∫2xxuf(u)du=12arctanx2;
上式两边对x求导得:
2∫2xxf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x)?2-xf(x)]=x1+x4
整理得:2∫2xxf(u)du=x1+x4+xf(x);
令x=1得:
2∫21f(u)du=11+1+1?f(x)=12+f(x);
又有:f(1)=1;
因此:2∫21f(u)du=12+f(x)=12+1=32
所以:∫21f(u)du=34;
即:∫21f(x)dx=34.

热心网友 时间:2024-11-07 15:41

简单计算一下即可,答案如图所示

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