发布网友 发布时间:2024-10-20 14:10
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热心网友 时间:2024-11-14 18:08
结果为:-arcsin(1/|x|)+C
解题过程如下:
设t=1/x
则dx=-dt/t^2
∴原式=∫1/[x(x^2-1)^(1/2)]dx
=-∫(dt/t^2)*t|t|/(1-t^2)
=-sgn(t)∫dt/(1-t^2)^(1/2)
=-sgn(x)arcsint+C
=-arcsin(1/|x|)+C
求函数积分的方法:
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论,如果两个 上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。
对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果对 中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。
如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限S。