...x22.(Ⅰ)当a=b=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的
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发布时间：2024-10-20 15:14
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时间：2024-12-01 06:53
（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=ex，f′（x）=ex，
∴f′（0）=1，f（0）=1，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=1（x-0），
即：y=h（x）=x+1；
证明：令F（x）=f（x）-h（x）=ex-x-1，
∴F′（x）=ex-1≥0，
∴F（x）=ex-x-1单调递增，又F（0）=0，
∴F（x）≥F（0），即ex≥x+1（x≥0）恒成立；
（Ⅱ）当b=-1时，f（x）≥g（x）等价于ex+ax?1≥x22，
令G（x）=ex?x22+ax?1，
∴G′（x）=ex-x+a，
当a≥-1时，由（1）知G′（x）=ex-x+a≥ex-x-1≥0，
∴G（x）=ex?x22+ax?1单调递增，
又G（0）=0，
∴ex+ax?1≥x22．
当a＜-1时，G′′（x）=ex-1＞0，
∴G′（x）=ex-x+a单增，
又G′（0）=1+a＜0，
∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即ex0＝x0?a，
∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，
又∵G（0）=0，
∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥-1；
（Ⅲ）要证：ni＝1（e 1k+ln2-2g（1k））＞2n+2ln（n+1），
即证2(nk＝1e1k?nk＝1g(1k))＞2n+2ln(1+n)，
也就是nk＝1(e1k?121k2)＞n+ln(1+n)．
由（Ⅱ），令a=-1可知：ex≥x22+1+x，
令x＝1k(k∈N*)，
则e1k≥1+1k+12?1k2，
∴nk＝1e1k≥n+nk＝11k+12nk＝11k2，
又由（Ⅰ）可知：ex＞1+x（x＞0），
∴x＞ln（1+x），
令x＝1k，k∈N*，
∴1k＞ln(1+1k)，
∴nk＝11k＞nk＝1ln(1+1k)＝ln(1+n)，
∴nk＝1e1k＞n+ln(1+n)+nk＝112k2，
即nk＝1(e1k?121k2)＞n+ln(1+n)，
故ni＝1（e 1k+ln2-2g（1k））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．
