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求函数f(x,y)=2x+y在约束方程x^2+4y^2=1下的最大值与最小值_百度...

发布网友发布时间：2024-10-20 13:43

共1个回答

热心网友时间：2024-12-01 04:12

高数用拉格朗日乘数法，但运算量太大.
用初等数学方法更简洁:

(1)方法一(柯西不等式法)
依柯西不等式得
1=x²+4y²
=(2x)²/4+y²/(1/4)
≥(2x+y)²/(4+1/4)
∴-√17/2≤2x+y≤√17/2.
即所求最大值√17/2;
所求最小值为-√17/2.

(2)方法二(三角代换法)
依约束条件，可设
x=cosθ，y=(1/2)sinθ.
∴2x+y
=2cosθ+(1/2)sinθ
=(√17/2)·sin(θ+φ)
(其中，tanφ=4)
∴sin(θ+φ)=1时，
所求最大值为√17/2;
sin(θ+φ)=-1时，
所求最小值为-√17/2。

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