【笔记】概率导论(二)条件与独立
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发布时间：2024-10-20 10:32
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时间：2024-11-15 16:50
一、条件概率
条件概率是在已知某事件发生的情况下，对另一事件发生可能性的估计。若事件A已发生，求事件B发生的概率记为P(B|A)。计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，若P(A) = 0，则条件概率未定义。条件概率遵循概率公理，具有非负性、可数可加性、归一性，能以给定事件作为样本空间的概率律。
二、乘法法则
序列模型中，若事件A表示连续发生事件B，即在事件A发生条件下发生事件B，则事件A的概率可通过乘法法则计算，即P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
条件概率可用来计算联合概率分布，如离散随机变量X在事件A发生下的条件概率质量函数（PMF）为P(X|A)，连续随机变量X在事件A发生下的条件概率密度函数（PDF）为f(x|A)。
三、全概率定理
设样本空间为A的非空、不相交划分，若事件B发生概率为P(B)，则事件B发生的概率等于各划分事件概率与B在该事件下的概率之和，即P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)。离散情况下，P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)；连续情况下，P(B) = ∫ P(Ai) * P(B|Ai) dAi。
四、贝叶斯法则
设样本空间划分，事件B已发生，求事件A在条件下的概率，即后验概率P(A|B)。贝叶斯法则为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。用于推断原因，已知结果B，推断导致B的原因A的概率P(A)。
五、独立性
事件独立表示事件的发生互不影响。两个事件A与B独立，意味着P(A∩B) = P(A) * P(B)。一组事件独立，即任意子集事件的发生不影响其它事件。条件独立表示在给定某一事件的条件下，两个事件的相关性不改变。
随机变量独立的通用定义为若两个随机变量X与Y独立，满足P(X∩Y) = P(X) * P(Y)。特定情况下，离散随机变量独立的条件为P(X∩Y) = P(X) * P(Y)；连续随机变量独立的条件为f(x,y) = f(x) * f(y)；随机变量与事件独立条件为P(X∩E) = P(X) * P(E)；给定事件，两个随机变量条件独立的条件为P(X∩Y|E) = P(X|E) * P(Y|E)；多个随机变量相互独立的条件为P(X1∩X2∩...∩Xn) = P(X1) * P(X2) * ... * P(Xn)。
独立随机变量之和的计算，若两个独立随机变量X和Y，则X和Y的和的PMF/PDF为X和Y的PMF/PDF的卷积，即(Z = X + Y)的概率分布为fZ(z) = ∫ fX(x) * fY(z-x) dx。
