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发布时间：2024-10-21 16:51
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热心网友
时间：2024-10-22 18:27
Dirichlet 定理指出，对于定义在有限区间 [a, b] 上的分段可微函数 f(x)，其Fourier级数在 f(x) 处逐点收敛。
设 f(x) 的Fourier级数表示为 ∑n=-∞∞ an einx，其中系数 an 由 f(x) 的Fourier系数公式给出。
为了证明这个定理，令 s_n(x) = ∑n=-NN an einx 表示 f(x) 的Fourier级数的前 2N+1 项和。
考虑级数的部分和 s_n(x)，要证明的是 s_n(x) 在 x = a 处收敛于 f(a)。
将 x = a 代入，得 s_n(a) = ∑n=-NN an eina。
注意到 eina 可以写为 cos(na) + i*sin(na)，则 s_n(a) 可以表示为两个实部和虚部的和。
考虑到最后两个积分分别为函数 f(x) 和其导数 f'(x) 的Fourier系数，这两个积分均趋于零（否则Fourier级数无法收敛）。
因此，s_n(a) 将会逐渐逼近 f(a)，证明了Dirichlet 定理。
热心网友
时间：2024-10-22 18:25
Dirichlet 定理指出，对于定义在有限区间 [a, b] 上的分段可微函数 f(x)，其Fourier级数在 f(x) 处逐点收敛。
设 f(x) 的Fourier级数表示为 ∑n=-∞∞ an einx，其中系数 an 由 f(x) 的Fourier系数公式给出。
为了证明这个定理，令 s_n(x) = ∑n=-NN an einx 表示 f(x) 的Fourier级数的前 2N+1 项和。
考虑级数的部分和 s_n(x)，要证明的是 s_n(x) 在 x = a 处收敛于 f(a)。
将 x = a 代入，得 s_n(a) = ∑n=-NN an eina。
注意到 eina 可以写为 cos(na) + i*sin(na)，则 s_n(a) 可以表示为两个实部和虚部的和。
考虑到最后两个积分分别为函数 f(x) 和其导数 f'(x) 的Fourier系数，这两个积分均趋于零（否则Fourier级数无法收敛）。
因此，s_n(a) 将会逐渐逼近 f(a)，证明了Dirichlet 定理。
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