非简并微扰论的一二级修正梳理
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发布时间：2024-10-20 23:08
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时间：2024-11-03 16:00
非简并微扰论的一二级修正梳理：
已知原始体系的哈密顿本征方程为[公式]。所谓微扰，即在哈密顿量中加入一个很小的哈密顿量[公式]。
本征方程则应为[公式]。因为[公式]很小，引起的态与能量的变化也很小。可以将新的态与能量进行多级展开表示为[公式]。将引入的[公式]视为无穷小修正，态和能量后面的项是前面的高阶无穷小，即[公式]且[公式]（能量情况类似）。
将[公式]带入[公式]，即是[公式]。展开后将等号右边的移到左边，然后将同一数量级的项放到一起，会写成如下形式：[公式]（[公式]象征无穷小）。需将[公式]视作一阶项，与[公式]或[公式]同级。实际上写出来是这样的：[公式]。
整体等于0意味着各个数量级之和均是0，故可以得到[公式]。上述括号内的式子分别称为[i]、[ii]、[iii]...我们的目标是求得[公式]的解析式，即能量/状态的一二级修正。
选择[公式]作为基矢量，因为已知条件里只有它。求解[公式]：将[ii]投影到[公式]上，有[公式]，化简得到[公式]即为所求。
求解[公式]：将[公式]用[公式]展开，求解展开系数[公式]。将[ii]投影到[公式]上，有[公式]。要展开系数的表达式，则要求[公式]，这样第三项即为0。整理得到[公式]，将上述结论代回展开式得到的[公式]即为所求。
求解[公式]：将[iii]投影到[公式]上，有[公式]，整理得到[公式]。将[公式]用[公式]展开后得到的[公式]即为所求。
求解[公式]：将[公式]展开，将[iii]投影到[公式]，有[公式]。要求[公式]，即要求[公式]，这样最后一项即为0。展开[公式]、[公式]整理得[公式]、[公式]，则展开式为[公式]。注意到这里同样有[公式]，不能直接通过修改整体相位直接消除这一项，但可以通过归一化关系计算[公式]项的系数[公式]。[公式]是已知的。注意到两点：[公式]、[公式]...[公式]都是修正项，均不是归一的，甚至不能说是一个态。因此可以得到忽略高阶无穷小项的式子为[公式]，实际上[公式]也是[公式]的高阶无穷小项，故略去。上式可化为[公式]，即说明[公式]项的系数是个纯虚数。
设[公式]，其中[公式]是个实数且远小于1。通过改变整体相位可以取消[公式]这一项。上面约等号处使用的近似为[公式]。
