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发布时间：2024-10-21 16:06
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时间：2024-10-21 16:35
函数 f(x)=sin(x)/x 的单调性
1）
x=0 是函数 f(x)=sin(x)/x 的间断点，但是此函数在该点存在极限，是两个重要极限之一。
(x->0) lim sin(x)/x = 1
2）
f(x)=sin(x)/x 是偶函数，其图像关于 y 轴对称。因此，只需要讨论 x 正半轴的单调性，按照对称性即可得知 x 负半轴的单调性。
在 x 正半轴，sin(x)/x 的单调性与正弦函数 sin(x) 的单调性基本相同，除了区间（0，π/2）以外：
下面探讨函数 y=sin(x)/x 在区间（0，π/2）的单调性。
证明：在半径为 1 的圆中，圆心角为x（弧度），圆心角所对的弧长也为x.
当0<x<π/2时，以x为弧度的扇形面积大于同弧度内所含三角形，但小于同弧度延长线并与x轴交点为切点的切线相交所围成的直角三角形面积，即0.5*1*sin(x) <0.5*1*1*x < 0.5*1*tan(x)
∴sin(x)<x<tan(x)
∴xcos(x)-sin(x)<0
f(x)=sin(x)/x
f’(x)=[xcos(x)-sin(x)]/x²<0
∴f(x)=sin(x)/x 在 0<x<π/2 单调递减
图像如下所示：
当 x>π/2 时，函数 sin(x)/x 与正弦函数 sin(x) 保持完全一样的单调性：
在（π/2+2kπ，3π/2+2kπ）递减，在（3π/2+2kπ，5π/2+2kπ）递增（k∈Z+）
3）
综上所述，函数 sin(x)/x 的单调性结论如下：
在 x>0 时，递减区间是（0，3π/2）∪（π/2+2kπ，3π/2+2kπ），递增区间是（3π/2+2kπ，5π/2+2kπ），k∈Z+
在 x<0 时，递增区间是（-3π/2，0）∪（-3π/2-2kπ，-π/2-2kπ），递减区间是（-5π/2-2kπ，-3π/2-2kπ），k∈Z+
4）
函数 f(x)=sin(x)/x 的图像如下图红色曲线所示：
f(x)=sin(x)/x 在实数范围内除点（0，1）外处处连续。通俗地说，其曲线在此点间断，或有一个洞。它不是周期函数，函数值在 x 轴上下不断振荡，振幅随着 x 趋于 -∞ 和 +∞ 而衰减，无限靠近 x 轴。在 x=0 处，极限为零。
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