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求证: 如果一个四边形对焦互补,则它一定有外接圆。

发布网友发布时间：2024-10-21 08:38

共1个回答

热心网友时间：2024-11-16 16:23

用反证法好了
将已知条件表示为：四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180，求证A、B、C、D四点共圆
证明：由于三角形一定有外接圆，所以设过A、B、D三点的圆为圆O
假设C不在圆O的圆周上
（1）C在圆O外
连接OC，交圆O于点E
由于四边形ABED为圆内接四边形，所以∠BAD+∠BED=180
∠BEO为△BEC外角，所以∠BEO＞∠BCO
∠DEO为△DEC外角，所以∠DEO＞∠DCO
因此∠BEO+∠DEO＞∠BCO+∠DCO，即∠BED＞∠BCD
因此∠BCD+∠BAD≠180
与已知条件矛盾，所以C在圆周上
（2）C在圆内
连接OC，延长OC交圆O于F
则∠BAD+∠BFD=180
∠BCO为△BCF外角，所以∠BCO＞∠BFO
∠DCO为△DCF外角，所以∠DCO＞∠DFO
因此∠BCO+∠DCO＞∠BFO+∠DFO，即∠BCD＞∠BFD
因此∠BCD+∠BAD≠180
与已知条件矛盾，所以C在圆周上

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求证: 如果一个四边形对焦互补,则它一定有外接圆。

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