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最小二乘算法原理、来源及其Matlab实现(直线拟合)

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热心网友时间：1天前

最小二乘算法，作为最早且广泛应用的函数模型最优解求解工具，主要解决带有观测误差的数据拟合问题。在实际生产中，遇到的关键问题是如何在观测数据存在误差的情况下，找到线性模型的最佳参数。例如，通过测量匀速运动质点的多个位置点，我们试图通过线性函数y=at+b来估计平均速度a和初始位置b，但实际观测的y值会受到测量仪器精度、观测者差异以及环境影响的误差。

理想情况下，我们可能只需两次观测，但现实中，为了抵消误差，通常会进行多次观测，形成多组数据（ti, yi）。此时，目标是找到使各观测点与拟合直线偏差平方和最小的a和b值。最小二乘法的起源可追溯至勒让德1805年的著作，他提出通过最小化误差平方和来找到“最佳”解，这一理论后来由高斯在1809年的《天体运动理论》中进一步发展，引入了正态误差理论，使得最小二乘法成为数理统计学的重要支柱。

尽管勒让德和高斯对最小二乘法的贡献各有侧重，但他们都独立地推进了这个方法的发展。勒让德从线性方程组的角度出发，而高斯则强调误差分析。在Matlab中，我们可以实现最小二乘法来拟合实际观测数据，确保模型最大程度地接近真实情况。相关理论和方法的深入研究，为测量和统计领域的实践提供了强大支持。

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