...C经过点 ,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.(Ⅰ)求曲线E...
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发布时间：2024-10-18 09:16
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时间：2024-10-21 11:45
（Ⅰ）x 2 ＝2y；（Ⅱ）直线m的方程为y＝±x＋ ．
试题分析：（Ⅰ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值；（Ⅱ）利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程，然后将三角形面积进行表示，其底边用弦长公式进行表示，高用点到直线的距离进行表示，得到含有直线m的斜率k的等式.
试题解析：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝ ．
依题意，r 2 －y 2 ＝1，即x 2 ＋(y－1) 2 －y 2 ＝1，
整理得曲线E的方程为x 2 ＝2y． …4分
（Ⅱ）设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则y 1 ＝ ，y 2 ＝ ．
设直线m方程为y＝kx＋ ，代入曲线E方程，得
x 2 －2kx－1＝0，则x 1 ＋x 2 ＝2k． …6分
对y＝ x 2 求导，得y¢＝x．
于是过点A的切线为y＝x 1 (x－x 1 )＋ ，即y＝x 1 x－ ． ①
由①同理得过点B的切线为y＝x 2 x－ ． ②
设C(x 0 ，y 0 )，由①、②及直线m方程得
x 0 ＝ ＝k，y 0 ＝x 1 x 0 － ＝－ ． 8分
M为抛物线的焦点，y＝－ 为抛物线的准线，由抛物线的定义，得
|AB|＝y 1 ＋ ＋y 2 ＋ ＝k(x 1 ＋x 2 )＋2＝2(k 2 ＋1)．
点C到直线m的距离d＝ ＝ ． 10分
所以△ABC的面积S＝ |AB|·d＝(k 2 ＋1) ．
由已知(k 2 ＋1) ＝2 ，有且仅有k＝±1．
故直线m的方程为y＝±x＋ ． 12分
