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四面体A-BCD被一平面所截,截面与四条棱AB,AC,CD,BD分别相交于E,F,G...

发布网友 发布时间:2024-10-23 09:25

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热心网友 时间:2024-10-25 08:41

思路解析:依据判定定理,在平面EFGH内寻找与BC、AD平行的直线,利用线面平行的性质即得.

证明:因为截面EFGH是一个平行四边形,所以EF∥GH.

又因为GH在平面DCB内,EF不在平面DCB内,所以EF∥平面DCB.

又平面ABC过直线EF且与平面DCB相交于BC.

所以EF∥BC,EF面EFGH.

所以BC∥平面EFGH.

同理,可证AD∥平面EFGH.

方法归纳 反复运用线面平行的判定定理和性质定理,实现线面平行与线线平行的相互转化,在同一道题中是常用的.

巧妙变式 若将本题中E、F、G、H特殊化,即E、F、G、H分别是AB、AC、DC、DB的中点,可由对应线段成比例推证平行,转化为利用三角形的中位线定理证直线平行,然后证明本题的结论成立.

证明:∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EFBC.

同理,∵G、H分别是DC、DB的中点,

∴GHBC.
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