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一直pei是超越数,证明pei+2,2pei,pei2与根号pei是超越数

发布网友发布时间：2024-10-23 02:48

共1个回答

热心网友时间：2024-11-29 02:23

这都可以用反证法来证明。
比如假设t=π+2不是超越数
那么存在整系数方程f(x)=0其根为x=t
令g(x)=f(x+2), 则g(x)也为整系数方程
但显然g(x)=0有根x=π , 这与π 是超越数矛盾。得证

比如假设t=2π不是超越数
那么存在整系数方程f(x)=0其根为x=t
令g(x)=f(2x), 则g(x)也为整系数方程
但显然g(x)=0有根x=π , 这与π 是超越数矛盾。得证

比如假设t=π^2不是超越数
那么存在整系数方程f(x)=0其根为x=t
令g(x)=f(x^2), 则g(x)也为整系数方程
但显然g(x)=0有根x=π , 这与π 是超越数矛盾。得证

比如假设t=√π不是超越数
那么存在整系数方程f(x)=0其根为x=t
令
f(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0=0
f(√x)=anx^n/2+a(n-1)x^(n-1)/2+...+a1x^(1/2)+a0=h(x)+(√x)p(x)=0, 这里h, p分别都是整系数方程。
移项平方得： h^2(x)=xp^2(x)
令g(x)=h^2(x)-xp^2(x),
则g(x)也为整系数方程
但显然g(x)=0有根x=π , 这与π 是超越数矛盾。得证

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