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已知z属于c.(z-1)/(z+1)是纯虚数,求丨z2-z+2丨的最小值

发布网友发布时间：2024-09-30 18:00

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热心网友时间：2024-10-21 17:37

设z=x+iy
则(z-2)/(z+2)=(x-2+iy)/(x+2+iy)=(x-2+iy)(x+2-iy)/[(x+2)^2+y^2]
=[x^2-(2-iy)^2]/[(x+2)^2+y^2]=(x^2+y^2-4+4iy)/[(x+2)^2+y^2]
由(z-2)/(z+2)为纯虚数，则x^2+y^2-4=0即x^2+y^2=4
注意纯虚数不包含原点，故(z-2)/(z+2)不等于0，z不等于2。即(x,y)轨迹不包含点(2,0)。
w=z+i，w的轨迹相当于圆x^2+y^2=4沿y轴正向平移一个单位。轨迹方程为
x^2+(y-1)^2=4，不包含点(2,1)。
对于w轨迹上的任意一点(x,y)
m=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2
对于轨迹方程为x^2+(y-1)^2=4圆，x^2+y^2为其上点(x,y)到原点的距离的平方。其最大值对应的点应该是(0,3)。
故m的最大值为20。

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