...请至少给出一道详解过程,说明用到的知识点,好让我学会能解答类似题目...
发布网友
发布时间：2024-09-26 17:49
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热心网友
时间：2024-11-17 13:30
这些全都是代数扩张，只要知道极小多项式的次数就行了。
先给答案
1.Q([2i+1]/[i-1])=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
2.Q(\sqrt{3},\sqrt{5})={a+\sqrt{3}b+\sqrt{5}c+\sqrt{15}d|a,b,c,d \in Q}
3.Q(\sqrt{2}+\sqrt{5})={a+\sqrt{2}b+\sqrt{5}c+\sqrt{10}d|a,b,c,d \in Q}
4.Q(\sqrt{2}+i)={a+\sqrt{2}b+ic+\sqrt{2}id|a,b,c,d \in Q}
5.Q(3i)=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
注意Q(x)是包含Q和x的最小的域，这里本质上是把这个域构造出来，然后验证这个确实是最小的。由于这里x都是代数数，如果其极小多项式的次数是n的话
Q(x)={a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} | a_i \in Q}。
利用加法和乘法的封闭性可以知道右端这些数至少都要包含在Q(x)里，然后验证一下除法确实是封闭的就行了，这个你自己要会算。
1和5本质一样的，[2i+1]/[i-1]和3i都是有理复数，所以其实就是Q(i)={a+ib|a,b \in Q}，这个如果不会问题就大了。换一个角度看就是说[2i+1]/[i-1]和3i都满足有理系数的2次多项式，写成Q(i)相当于是简化后的结果。
3和4的本质一样，但是比1和5略微复杂一点，因为\sqrt{2}+\sqrt{5}和\sqrt{2}+i的极小多项式都是4次的，我给的答案可以看作经过化简后的结果。
至于Q(\sqrt{3},\sqrt{5})，这个不是单扩张，不过可以用两次单扩张来完成，也就是说先做F=Q(\sqrt{3})，然后再做F(\sqrt{5})，同样，我给出的答案可以看作经过化简后的结果。
上面这些最麻烦的一定要会，然后才可以偷懒。这里2，3，4的形式是一样的，主要是因为\sqrt{a}和\sqrt{b}在有理数域上线性无关的时候可以预先估计出答案的形式，你最好自己动手，这样才能理解。
另外，如果碰到超越扩张的话，比如说Q(e)，那么形式上就是有理函数而不是有限次多项式，即
Q(e) = {p(e)/q(e) | p,q是有理系数多项式, q非零}。
热心网友
时间：2024-11-17 13:25
我是初一的 这还没讲呢 抱歉
