怎么用初中的知识证明一个n阶矩阵不满足n^2-
发布网友
发布时间：2024-08-16 16:29
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时间：2024-08-20 15:38
只需要用到二项式公式
这是高中的知识
二项式定理http://baike.baidu.com/view/392493.htm
展开(1
+
1/n)^n
=
1
+
c(n,1)*(1/n)
+
c(n,2)*(1/n)^2
+
...
+
c(n,k)*(1/n)^k
+...+c(n,n)*(1/n)^k
当n=1时
结论显然成立
当n
>=
2时
就说明这个二项式展开至少有2项
而前2项1
+
c(n,1)*(1/n)就等于2
后面项都是正数
那么2=<(1+1/n）的n次方
已经证明了
比较难的也是麻烦的就是证明后面（除了第一项1和第二项c(n,1)*(1/n)）的和小于1
首先
将c(n,k)根据定义的形式展开，这里k>=2(因为我们只考虑第三项之后的情况)
c(n,k)
=
n
*
(n-1)
*...*(n-k+1)
/
k!
那么c(n,k)*(1/n)^k
=
c(n,k)
/
(n^k)
=
{n
*
(n-1)
*...*(n-k+1)
/
(n^k)}
/
k!
前面{n
*
(n-1)
*...*(n-k+1)
/
(n^k)}
观察一下
n到n-k+1共有k项
每一项都小于等于n
n^k看成k个n相乘
那么显然{n
*
(n-1)
*...*(n-k+1)
/
(n^k)}
<=
1
这样c(n,k)*(1/n)^k
<=
1/k!
当k>=2时
...................(*)
对于k!
k!
=
1*2*3*...*k
除了1
之后的2
3
k都大于等于2
因此k!
=
1*2*3*...*k
>=
2^(k-1)
那么1
/
k!
<=
1
/
2^(k-1)
......................(**)
由(*)(**)两式
c(n,k)*(1/n)^k
<=
1
/
2^(k-1)
带回原展开式
可看到
前两项都是1，第三项小于等于1/2，第4项小于等于1/4.....第k+2项小于等于1/(2^k)
又因为1/2
+
1/4
+....
<1
因此
小于3的也证明了
