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第五章微分方程基础篇6.求微分方程 y'=e^(y/x)+y/x?

发布网友发布时间：2024-07-22 00:43

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热心网友时间：2024-08-06 04:29

【求解答案】

【求解思路】

1、引入变量p，使得p=y/x，则 y=px

2、求dy/dx和dp/dx的一阶导数

3、将上述代入原微分方程，得到

4、运用分离变量法，进一步求解得到其通解

【求解过程】

【本题相关知识点】

1、微分方程。微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

2、分离变量法。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。

3、一阶微分方程的类型

（1）变量分离型

（2）齐次型

（3）一次（或线性）型

（4）全微分型

（5）拉格伦日方程

（6）克莱洛方程

（7）黎卡笛方程

热心网友时间：2024-08-06 04:33

解:微分方程为y'=e^(y/x)+y/x，设y=ux，微分方程化为(ux)'=eᵘ+u，u'x+u=eᵘ+u，u'x=eᵘ，e⁻ᵘdu=dx/x，e⁻ᵘ=ln|x|+ln|c|(c为任意非零常数)，微分方程的通解为e^(-y/x)=ln(cx)

用微分方程求解泛函

请参考

热心网友时间：2024-08-06 04:28

解:微分方程为y'=e^(y/x)+y/x，设y/x=u，微分方程化为(ux)'=eᵘ+u，u'x+u=eᵘ+u，u'x=eᵘ，du/eᵘ=dx/x，-1/eᵘ=ln|x|-ln|c| (c为任意非零常数)，微分方程的通解为1=e^(y/x)×ln(c/x)

热心网友时间：2024-08-06 04:31

解：令u=y/x，则y=xu，y'=u+xu'

u+xu'=e^u+u
xu'=e^u
e^(-u)du=dx/x
∫e^(-u)du=∫dx/x
-e^(-u)=ln|x|+C
e^(-u)=-ln|x|+C
-u=ln(-ln|x|+C)
u=-ln(-ln|x|+C)
y=-xln(-ln|x|+C)，其中C是任意常数

热心网友时间：2024-08-06 04:34

方法如下，请作参考：

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