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如何证明x^2+y^2=2046没有整数解?

发布网友发布时间：2024-07-22 11:08

共2个回答

热心网友时间：2024-08-07 05:29

x^2+y^2=2046
右边是一个偶数
因此，x^2和y^2只有两种可能，一种是都是奇数，另外一种是都是偶数
当两者都是偶数是，等号右边应该是4的倍数，而2046只是2的倍数，因此此种情况不成立
当两者都是奇数时，两边奇偶性满足要求
即奇＋奇＝偶
2046÷2＝1023
因此，而只能奇＋偶＝1023
因此推出来x^2和y^2中有一个是偶数，这与假设不符合。
因此没有整数解

热心网友时间：2024-08-07 05:28

2046=2*3*31*11
x^2+y^2=n有解的充要条件（初等数论书上都有，用二次剩余证明）是：
右边不能出现4k+3型的质数的单数幂次，如此题有3,31,11,都是无解的证据
如取3分析，左边x^2,y^2除以3的余数都只能是0,1，右边是3倍数，
只能x,y都是3倍数，则右边应该是9倍数，矛盾，因此无解。

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