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三角形内心向量公式

发布网友发布时间：2024-08-18 22:32

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热心网友时间：2024-08-20 09:54

三角形内心向量公式及详细证明如下

一、公式

三角形的内心是三个内角角平分线的交点，其向量公式为:r/+r2+r3=1/2(1/sin(A)+1/sin(B)+1/sin(C))(r/sin(B)+r2sin(C)+r3*sin(A))其中，r1，r2，r3分别表示三角形三个顶点的向量。

二、证明

证明这个公式需要使用三角函数的基本性质和向量加法的几何意义。以下是详细证明过程:设三角形三个顶点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，则三个顶点的向量分别为r1=(x1y1)，r2=(x2,y2)，r3=(x3,y3)。根据向量加法的几何意义，三角形的内心向量可以表为:r=1/2*(r1+r2+r3)

由于三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此内心到三个顶点的距离相等，设这个距离为d，则有:d^2=(x1-x)^2+(y1-y)^2=(x2-x)^2+(y2-y)^2=(x3-x)^2+(y3-y)^2

设三角形的三个内角分别为A，B，C，则有sin(B)=sin(A+C)=2*sin(A/2)*cos(C/2)sin(C)=sin(A+B)=2*sin(B/2)*cos(A/2)sin(A)=sin(B+C)=2*sin(C/2)*cos(B/2)

因此，三角形的内心向量的长度可以表示为:

d=sqrt((sin(B)*(x1-x)+sin(C)*(x2-x)+sin(A)*(x3-x))^2+(sin(B)*(y1-y)+sin(C)*(y2y)+sin(A)*(y3-y))^2)=sqrt((sin(B)*r1*cos(B/2)-sin(C)*r2*cos(A/2)sin(A)*r3*cos(C/2))^2+(sin(B)*r1*sin(B/2)-sin(C)*r2*sin(A/2)-sin(A)*r3*sin(C/2))^2))

=sqrt((sin(B)^2*r1^2*cos^2(B/2)+sin(C)^2*r2^2*cos^2(A/2)+sin(A)^2*r3^2*cos^2(C/2))(sin(B)^2*r1^2*sin^2(B/2)+sin(C)^2*r2^2*sin^2(A/2)+sin(A)^2*r3^2*sin^2(C/2)))=sqrt((sin(B)^2/cos^2(B/4)+sin(C)^2/cos^2(C/4)+sin(A)^2/cos^2(A/4))*((r1*cos(B/4))^2+(r/*sin(B/4))^2+(r/*cos((B+C)/4))^2+(r/*sin((B+C)/4))^2))

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