《数论基础》答案(6)——指数、原根和指标
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发布时间：2024-08-18 06:49
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时间：2024-08-28 16:30
1. 写出模[公式] 的指数表，并指出它们的所有原根。
解：从模[公式] 的一个原根出发，写出其次方表，便可以标出每个元素对应的指数，其中指数恰为 [公式] 的即模 [公式] 的原根，计算结果如下：
模[公式] ： [公式] ，故 [公式] 为模 [公式] 的全部原根；
模[公式] ： [公式] ，故 [公式] 为模 [公式] 的全部原根；
模[公式] ：
[公式]
故[公式] 为模 [公式] 的全部原根；
模[公式] ：
[公式]
故[公式] 为模 [公式] 的全部原根；
模[公式] ：
[公式]
故[公式] 为模 [公式] 的全部原根。
2. 求[公式] .
解：注意到[公式] ，于是 [公式]
注意到[公式] ，于是 [公式]
3. 设[公式] 为素数， [公式] ，证明：当 [公式] 通过模 [公式] 的完全系时， [公式] 亦通过模 [公式] 的完全系。
证明：取模[公式] 的一个原根 [公式] ， [公式] 跑遍 [公式] ，对应地 [公式] 跑遍 [公式] ，注意到 [公式] 是 [公式] 个模 [公式] 两两不同余的数，于是 [公式] 亦通过模 [公式] 的完全系。
4. 设[公式] ，证明：当 [公式] 通过模 [公式] 的简化系时， [公式] 亦通过模 [公式] 的简化系。
证明：我们取[公式] 的指标组
[公式]
由于[公式] ，所以 [公式] ，于是 [公式] 跑遍 [公式] 完系 [公式] 跑遍 [公式] 完系，故
[公式]
亦通过模[公式] 的简化系。
5. 设素数[公式] ，证明： [公式] 的充要条件是 [公式]
证明：取模[公式] 的一个简化系 [公式] ，注意到
[公式]
又因为[公式] 满足该条件，于是 [公式] 的充要条件是 [公式]
6.[公式] 为素数的充要条件是存在一个整数 [公式] ，使 [公式] 。
证明："[公式]" 注意到 [公式] 为素数时存在原根 [公式] ，于是 [公式] 。
"[公式] "注意到 [公式] 为合数时
[公式]
于是[公式] 。
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