矩阵SVD 分解
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发布时间：2024-08-18 13:32
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时间：2024-08-19 02:14
矩阵SVD分解是将矩阵A表示为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V为酉矩阵，Σ为对角矩阵，其对角线上的元素即为矩阵A的奇异值。
SVD分解适用于非方阵，即m×n矩阵，分解后得到的U为m×m酉矩阵，V为n×n酉矩阵，Σ为m×n的对角矩阵。
通过计算A与A^T，以及A^T与A的特征值与特征向量，可以得到U和V矩阵的特征向量，进而得到Σ矩阵的对角元素，即矩阵A的奇异值。
特征分解只适用于方阵，要求矩阵有n个特征值与特征向量，其中n为矩阵维度。特征值为矩阵与特征向量相乘的结果，特征向量是使得矩阵乘以该向量得到该向量的线性倍数的向量。
特征向量需满足单位长度的条件，即特征向量的模为1，满足这个条件的特征向量称为标准化特征向量，使得矩阵以标准化特征向量为基时更易于解析。
特征分解和SVD分解都是矩阵分解的方法，但SVD分解无需矩阵为方阵，且分解结果能更全面地反映矩阵的特性。
SVD分解的缺点在于，U和V矩阵可能包含大量零元素（即稀疏性较差），这在实际应用中可能造成计算资源的浪费。为解决此问题，引入了CUR分解。
CUR分解是基于矩阵的行和列进行选择的分解方法，选取矩阵的几列和几行，构建矩阵的近似，相较于SVD分解，它能更好地保持矩阵的稀疏性。
CUR分解中，选择矩阵的列和行，构建矩阵的近似，计算U矩阵，接着计算C和R矩阵，最终得到矩阵的近似表达式。
总结，SVD分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，适用于非方阵，通过特征值与特征向量的计算得到矩阵的奇异值，而CUR分解则在保持稀疏性的同时，提供了矩阵的近似分解方法。
