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sinx/x的极限

发布网友发布时间：2024-09-27 17:00

共2个回答

热心网友时间：2024-10-15 17:43

首先，先证明：当0<x<π/2时，有： sin x < x < tan x (不能用求导去证明，否则就变成循环论证因为sin x的求导公式中运用到这一个极限) 在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心，1为半径的圆)，交x正半轴于点A 作圆在A点上的切线AB，其中B点在第一象限。连接OB，交圆于点P 过P作平行于y轴的直线，交x轴于Q。连结AP(请自己画图) 设∠POA=x(弧度)，那么OA=OP=1 PQ=OP*sin x=sin x, AB=OA*tan x=tan x 由图可知：△OPQ的面积<扇形OPA的面积<△OAB的面积 △OPQ的面积=1/2*PQ*OA=1/2*sin x 扇形OPA的面积=1/2*x*1^2=1/2*x △OAB的面积=1/2*AB*OA=1/2*tan x 代入刚刚的面积大小关系就得： sin x < x < tan x (0<x<π/2) 以下运用夹*准则证明右极限等于1 上式各项取倒数，得： 1/tan x < 1/x < 1/sin x 各项乘以sin x,得： cos x < (sin x)/x < 1 当x趋向0式，上面不等式中，cos x趋向1 而最右面也是1，由夹*准则便有 lim sinx/x=1(x趋向0(+)) 因为sinx/x是偶函数，图象关于y轴对称所以lim sinx/x=1(x趋向0(-)) 左右极限相等，都等于1 所以： lim sinx/x=1(x趋向0)

热心网友时间：2024-10-15 17:43

1，洛比达法则,上下都对x求导,得1/cosx=1。

极限：

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

极限可分为数列极限和函数极限.

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。

函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当

|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

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