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...x∈R,f(x)=f(2-x),若x∈(0,1]时,f(x)=1+x^2,则f(2015)+f(2016)=...

发布网友发布时间：2024-10-04 16:09

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热心网友时间：2024-10-30 22:47

f(x)=f(2-x)
f(x+1)=f(1-x)
f(x)关于x=1对称
f(x)是奇函数
f(x)=f(2-x)=-f(-x)=-f(x+2)
即f(x-2)=f(x+2)
∴f(x+2-2)=f(x+2+2)
f(x)=f(x+4)
f(x)是周期为4的周期函数。
若x∈(0,1]时
f(x)=1+x²
∴x∈[1,2)时
f(x)=1+(x-2)(x-2)=x²-4x+5
(关于x=1对称）
又∵f(x)是奇函数，关于原点对称
∴ x∈[-1,0)时
f(x)=-1-x²

x∈(-2,-1]时
f(x)=-x²-4x-5
∴f(2015)=f(2016-1)=f(4·504-1)=f(-1)=-2

f(2016)=f(0)=0
(奇函数如x=0在定义域内，f(0)=0)
∴f(2015)+f(2016)=-2
向左转|向右转
(就本题来讲，无需分析x∈[1,2)和x∈(-2,-1]的情况，根据周期函数和奇函数，可以得出直接得出结论)

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