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...+2的立方+3的立方+…+n的立方等于什么?写下过程, 请各位大师帮帮忙...

发布网友发布时间：2024-10-02 14:33

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共4个回答

热心网友时间：2024-11-06 06:31

原试=(1+2+3+...+N)^2

过程如下:设1^3+2^3+...n^3=P(n)两边取导数得

3(1^2+2^2+...+n^2)=P(n)的导数

由于1^2+2^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

所以P(n)的导数=1/2n(n+1)(2n+1)=1/2(2n^3+3n^2+n)

再对1/2(2n^3+3n^2+n)取积分得1/4(n^4+2n^3+n^2)+C(C为常数)

化简得((1+n)n/2)^2+C

将n=1代入由((1+n)n/2)^2+C=1得C=0

所以P(n)=((1+n)n/2)^2

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

热心网友时间：2024-11-06 06:29

(1+2+……+n)^2
成功!!!!!!!!!!!!!!!!!!
加油!!!!!!!!!!!!!!!!!!

错了写成平方的了
LZ原谅!!

热心网友时间：2024-11-06 06:25

前n个自然数的和:
1+2+...+n=n(n+1)/2

前n个自然数平方和:
n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
==================================
或者是：
原试=(1+2+3+...+N)^2
过程如下:设1^3+2^3+...n^3=P(n)两边取导数得
3(1^2+2^2+...+n^2)=P(n)的导数
由于1^2+2^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
所以P(n)的导数=1/2n(n+1)(2n+1)=1/2(2n^3+3n^2+n)
再对1/2(2n^3+3n^2+n)取积分得1/4(n^4+2n^3+n^2)+C(C为常数)
化简得((1+n)n/2)^2+C
将n=1代入由((1+n)n/2)^2+C=1得C=0
所以P(n)=((1+n)n/2)^2

热心网友时间：2024-11-06 06:27

(1+2+……+n)^2

热心网友时间：2024-11-06 06:30