设p是奇素数,证明:模p的任意两个原根之积不是模p的原根
如图：
原根存在的条件(初等数论)
【推论一】若p为素数，则模p的原根个数为p-1。因为如果对任意的m都有q，则m也成立，也就是说若x为模p的原根，则其必为模p的原根。【命题二】设p为奇素数，则模p的原根存在。证明：先从p的原根上升到3p的原根，设g为模p的一个原根，则考虑g+3p，下证：g+3p和g对于模3p的阶为3或6。...
p为奇素数,证明(Z/p^2Z)*对于模p^2乘法构成一个循环群?
群的阶确实就是phi(p^2)=p(p-1)，至于为什么是循环群，这其实是数论问题，因为p^2有原根。这个问题相对于一般原根的讨论还是简单一些，首先要知道(Z/pZ)*按模p乘法构成循环群，比如说a是循环群的生成元，那么满足a^n=1(modp)的最小正整数是p-1。
【初等数论】指数、原根与不定方程
现在只要能证明以上条件对 成立(即 ),我们就找到了所有模 的原根,研究证明了 原根的存在性。对模 p 的原根 g,考察 和式子(7)中的变形。 中有且仅一个是 p 的倍数,取其它任何一个值都能得到了满足条件的原根,条件得证。 至此我们已经证明了原根存在的充要条件是模为 之一,但如果想要找出原根,目前还没有...
近世代数理论基础13:循环群
定理：设 是循环群, ,则 ,使 证明：,其中 ,即 , 使 ,称i为以a为底b的离散对数,记作 注：群中仅有有限个元,故称离散,离散对数在密码学中有重要应用 例：设p是素数, , 中的乘法定义为 ,易证这是一个群,单位元为 ,且初等数论中已证它是循环群,生成元称为模p的原根 ...
设p是一个素数。证明,p次原根有p-1个,即p次单位根中除1外都是p次...
a^(n-1) MOD n = 1, 则我们说n是一个满足基于a的伪素数.即对于1..n-1间的任意一个整数a来说, a^(n-1) MOD n <> 1, 则n一定是合数, 若a^(n-1) MOD n = 1, 则几乎可以肯定地确认n是素数, 因为它出错的机会非常少.
一道证明题,100分,设k为(mod p)的原根
p是质数吧.a) 由原根的定义, 对任意正整数d < p-1, 有k^d ≠ 1 (mod p).因此k, k^2, k^3,..., k^(p-1) mod p两两不等.否则若a > b满足k^a = k^b (mod p), 由k与p互质, 有k^(a-b) = 1 (mod p).但正整数d = a-b < p-1, 矛盾.又k, k^2, k^3,...
原根是什么意思
1. 原根的定义：给定一个正整数 n，如果存在一个整数 g，满足对于任意整数 k（0 <= k < n），都存在一个整数 t，使得 g^t ≡ k (mod n)，那么 g 就是模 n 的一个原根。换句话说，g 的各次幂可以覆盖模 n 下的所有可能的剩余类。2. 原根的性质：模 n 的原根 g 的幂次构成一个...
p是质数,p=8n+1, r是p的原根,证明x^2≡2(mod p)的解是x≡±(r^7n+r...
由已知条件得：r对模p的指数是8n，即使r^s≡1(mod p)成立的最小正整数s是8n,[±（r^7n+r^n)]^2=（r^14n+r^2n+2r^8n)≡(r^6n +r^2n+2)---一式 而显然r^4n r^8n是Y^2≡1(mod p)的两个不同解，所以r^4n≡-r^8n≡-1(mod p)所以r^6n≡r^4n*r^2n≡-r^2n(mod ...
近世代数理论基础34:域的相对自同构
定义 相对 的自同构 , 在 上为恒等映射,且 在任一 相对 的自同构下, 一定映射为 的某一个根,故 是 的所有相对 的自同构,即 ,故 显然 群 与模p乘法群 同构,后者是循环群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽罗瓦群 也是循环群 当g为模p的原根时, 即 的生成...
