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已知球的半径为R,在球内作一个内接正三棱柱,则正三棱柱体积的最大值...

发布网友发布时间：2024-10-05 16:20

共1个回答

热心网友时间：2024-10-05 20:51

三棱柱的底面等边三角形边长为a，棱柱高为h；
那么v=sh=根号3 *a^2*h/4
根据几何知识：球的半径为R=根号(h^2+4a^2/3),
D^2=4R^2=h^2+4a^2/3
a^2=3(4R^2-h^2)/4
v=根号3 /4 *3(4R^2-h^2)/4*h
=3根号3 /16 *(4R^2-h^2)*h

根据极值定理以及柯西不等式 :
当3h^2=4R^2时 v取得最大
所以vmax=2*h^3*3根号3 /16
= R^3

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