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设函数 f ( x )定义在(0,+∞)上, f (1)=0,导函数 , .(1)求 的单调区间...

发布网友 发布时间:2024-10-09 21:16

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热心网友 时间:2024-10-09 23:09

设函数 f ( x )定义在(0,+∞)上, f (1)=0,导函数 , .
(1)求 的单调区间和最小值;
(2)讨论 与 的大小关系;
(3)是否存在 x 0 >0,使得| g ( x )﹣ g ( x 0 )|< 对任意 x >0成立?若存在,求出 x 0 的取值范围;若不存在请说明理由. (1) g ( x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),最小值为 ;(2)当0< x <1时, ;当 x >1时, ;(3)满足条件的 x 0 不存在.证明详见解析.

试题分析:(1)由题设得 ,求导,根据导数的符号即可确定 g ( x )的单调区间,进而求出其最小值;(2)为了确定 与 的大小关系,便作差判断其符号.设 ,则 ,因此 在 内单调递减.接下来就确定函数 的零点.易知 h (1)=0,即 ;所以当0< x <1,时, h ( x )> h (1)=0,即 ,当 x >1,时, h ( x )< h (1)=0,即 ;(3)根据(1)题的结果可作出 的大致图象;再作出 的图象,结合图象可看出,不论 取多少,当 的值充分大时,必有 ,所以满足条件的 x 0 不存在.接下来就是想方设法找出一个 ,使得 .为了更容易地找出这样的 ,我们将 变形为 ,对左边的不等式 ,易看出当 时便不成立.从而问题得证.
试题解析:(1)由题设易知 ,
∴ ,令 ,得 ,
当 x ∈(0,1)时, g ′( x )<0,故 g ( x )的单调递减区间是(0,1),
当 x ∈(1,+∞)时, g ′( x )>0,故 g ( x )的单调递增区间是(1,+∞),
因此 是 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
∴最小值为 ;
(2) ,
设 ,
则 ,
当 x =1时, h (1)=0,即 ,
当 x ∈(0,1)∪(1,+∞)时, h ′( x )<0, h ′(1)=0,
因此, h ( x )在 内单调递减,
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