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已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一...

发布网友 发布时间:2024-10-10 09:16

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1个回答

热心网友 时间:2024-10-10 09:18

(1)解:

∵CA=CD,CG⊥AD,

∴AH=DH(三线合一),

∵∠ACB=90°,

∴AH=CH=5,

∵CE⊥AB,

∴∠GCE+∠AGC=90°,

∵∠HAG+∠AGC=90°,

∴∠GCE=∠HAG,

又∵∠CHF=∠AHG=90°,CH=AH,

∴△CHF≌△AHG(ASA),

∴HF=HG=1,

CF=√(CH²+HF²)=√(25+1)=√26.

(2)证明:

作AM⊥CE于M,交CG于O,连接HM,

∵AC=AE,

∴∠ACE=∠AEC,

∵∠GEH=∠ECH,

∴∠AEC-∠GEH=∠ACE-∠ECH,

即∠FEH=∠ACH=45°,

在△AHO和△CMO中,

∠AHO=∠CMO=90°,∠AOH=∠COM,

∴△AHO∽△CMO(AA),

∴OA/OC=OH/OM,

又∵∠AOC=∠HOM,

∴△AOC∽△HOM(SAS),

∴∠OMH=∠OCA=45°,

∴∠HMF=45°,

∴△EHM是等腰直角三角形,

∵EM=√2EH,

∵AC=AE,AM⊥CE,

∴CE =2EMH(三线合一),

∴CE=2√2EG.

(3)2∠CEH+3∠A'CD+2EA'D=180°

∵H是AD的中点,E是AB的中点,

∴EH是△ABD的中位线,

∴EH//BC,

∴∠CEH=∠ECD,

∵A'是点A关于CE的对称点,

∴AE=A'E,

∵CE=1/2AB=AE,

∴A'E=CE,

∴∠CA'E=∠A'CE=∠A'CD+∠ECD=∠A'CD+∠CEH,

∴∠CA'D=∠CA'E+∠DA'E=∠A'CD+∠CEH+∠DA'E,

∵CA'=CA=CA,

∴∠CA'D=∠CDA',

∵∠A'CD+2∠CA'D=180°,

∴2∠CEH+3∠A'CD+2EA'D=180°

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