如何求矩阵的秩

发布网友 发布时间：2022-04-22 02:45

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热心网友 时间：2023-07-17 03:03

矩阵的秩计算公式：

A=(aij)m×n

按照初等行变换原则把原来的矩阵变换为阶梯型矩阵，总行数减去全部为零的行数即非零的行数就是矩阵的秩了。

用初等行变换化成梯矩阵，梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩。

可以同时用初等列变换，但行变换足已，有时可能用到一个结论：若A中有非零的r阶子式， 则 r(A)>=r；若A的所有r+1阶子式(若存在)都是0，则r(A)<=r.逆命题也成立。

扩展资料

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

参考资料：百度百科-矩阵的秩

热心网友 时间：2023-07-17 03:04

引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理初等变换不改变矩阵的秩。

定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

扩展资料

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)&sup1; 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩，

而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所

有的三阶子式全为零，所以rA=2。

参考资料：矩阵的秩的百度百科

热心网友 时间：2023-07-17 03:04

概念来说，用初等行变换化成梯矩阵, 梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩.可以同时用初等列变换, 但行变换足已.更具体来的说，另任意一个r阶子式不是0，r+1阶子式是0，就把r叫做这个矩阵的秩。比如一个3*3矩阵，你化成行最简发现最后一行都是0，那秩就是2，如果化完都不是0，秩就是3，如果有两行是0，那秩就是1

有时可能用到一个结论:
若A中有非零的r阶子式, 则 r(A)>=r;
若A的所有r+1阶子式(若存在)都是0, 则r(A)<=r.
逆命题也成立.

热心网友 时间：2023-07-17 03:05

热心网友 时间：2023-07-17 03:05

追答如：
1 2 -1 2 1
2 4 1 -2 3
3 6 2 -6 5

r3-r1-r2，
r2-2r1 得：
1 2 -1 2 1
0 0 3 -6 1
0 0 2 -6 1

r2-r3 得：
1 2 -1 2 1
0 0 1 0 0
0 0 2 -6 1

r3-2r2 得：
1 2 -1 2 1
0 0 1 0 0
0 0 0 -6 1

所以 r(A) = 3。

阶梯矩阵

看看图片:http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/2350498960e38b2a9e2fb484.jpg