做一条直线平分任一四边形的面积并证明。

发布网友 发布时间：2022-04-22 02:53

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热心网友 时间：2024-01-02 02:48

1.连接两条对角线AC、BD。

2.取BD中点E。

3.过E作EF‖AC，交BC于F。

4.连接AF则AF即为所求。

证明：连接CE，

      ∵E是BD中点，

      ∴四边形ABCE的面积为四边形ABCD面积的一半。

      ∵EF‖AC，

      ∴△CEF的面积等于△AEF的面积。（同底等高）

      ∴△ABF的面积为四边形ABCD面积的一半。（等积变换）

      即直线AF平分四边形ABCD面积。

热心网友 时间：2024-01-02 02:48

2、学习探索过程

问题1 某住宅小区有一块平行四边形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块平行四边形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？

设计意图：首先尊重学生，鼓励学生，要求学生当好设计师，能加强学生的责任心和提高学生的成就感；

由于有前面的知识铺垫，学生很容易想到平行四边形的对角线，必要时再提示学生多想想，会有学生想到：

经过对称中心的任何一条直线都平分平行四边形面积；可以引导学生去解释原因，平行四边形是中心对称

图形，经过对称中心的任何一条直线都把平行四边形分成面积相等的两部分，或者在一般情况下，用梯形

面积公式解释。平行四边形的两组对边都平行，如果只有一组对边平行的四边形就是梯形，所以下面讨论

直线平分梯形面积。

问题2 如果花园形状是梯形，要求用一条直线为分界线把这块梯形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？

设计意图：学生可能受平行四边形情况的启发，直接认为梯形对角线就可以，实际上只要利用几何画板软件的计算功能，就能否定，给学生足够思考的时间，让学生分成小组去讨论，那么学生很容易找到梯形两底中点的连线符合条件。在适当的时候，还可以引导学生讨论把梯形等积变形成三角形或平行四边形，然后利用前面的知识解决。在讲解过程中，最好利用几何画板演示，加深学生对知识的理解。

梯形等积变形成平行四边形时，如图，过点O的任何一条直线是否都把梯形面积平分呢？实际上只有当这条直线和梯形的两底都相交时才可以，要提醒学生注意，用几何画板演示各种情况

巡视学生研究情况，并对学生展示的结果进行分析，肯定，和学生一起归纳各种方法

直线平分梯形面积：

（1）两底中点所在直线；

（2）变形为等积的三角形；

（3）变形为等积的平行四边形；

注意：所作直线必须与梯形两底都相交

设计意图：用几何画板演示发现直线平分梯形时这三种情况下所求作直线都交于同一点，这点实际上就是梯形上下底中点连线的中点，可以问学生：直线平分梯形面积是否一定都过这点？实际上不一定，比如用一条平行底边的直线移动和梯形相交，一定在一种情况下平分梯形面积，但是不过点O,而且平分梯形面积的直线还有一些情况，但是我们今天所探讨的只是特殊情况，给学生抛砖引玉，由这些特殊情况出发，学生也就能自己解决一般的问题了。（演示）

四边形中如果两组对边都不平行，那么我们又如何设计呢？

3、学习应用过程

问题3 如果花园形状是任意四边形，要求用一条直线为分界线把这块四边形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？

设计意图：要求学生用好等积变形的知识，也就是同底登高的三角形面积相等，这种类型题的常规方法就是平议一条对角线，把四边形通过个割补的方法等积变形成一个三角形，然后化归到课前提问的情形

注意：任意四边形一般是变形为等积的三角形

七、师生共同小结

1．知识点

（1）平分三角形面积：找中线；

（2）平分平行四边形面积：找过中心的直线；

（3）平分梯形面积：找两底中点所在直线；

等积变形成三角形；

等积变形成平行四边形；

（4）平分一般四边形面积：变形为等积的三角形。

2．处理四边形面积问题：把四边形变形成一个等积的三角形

3．遇到实际问题时应该找对应的数学模型，并用所学的数学知识去解决问题；

指出：平分多边形面积也可以用今天的方法转化解决

教学设计说明

这节课是学生在学完“平移与旋转”“平行四边形”这两章后进行的一次探究，在设计安排和组织教学过程中，以问题为中心，赋予学生观察实验，猜想，验证，推理与交流等丰富多彩的教学活动，真正使学生成为学习的主人，教师是学生学习的组织者，引导者，合作者和促进者。

提出问题后，将学生分成学习小组，共同讨论，探究。在教学设计中充分发挥学生的主体地位，使学生真正成为学习的主人，无论是思考问题的解决，还是数学模型的建立，教师通过创造条件，启发引导，让学生主动参与，合作学习，积极探究，激发学生主动探究的精神，让学生感受，理解知识产生和发展的过程，进而培养学生的科学精神和创新思维，学生在探究过程中会提出问题，会产生各种各样的想法和做法，并能运用已有的知识分析问题，解决问题，并由学生阐述，既可发挥数学课堂多方位的教育功能，培养学生的表达能力，又可以充分调动学生参与的意识，使学生的个性得以发展，对于培养学生思维的灵活性。深刻性和广阔性，良好的思维品质有积极的促进作用，通过分析解决课题，可以培养学生应用数学的意识和能力，培养学生解决实际问题的能力，培养学生的创精神和实践能力。

教学采用了启发式，一系列的数学思维活动贯穿始终，让学生经历从平分三角形面积、平分平行四边形面积过渡到平分梯形面积，再过渡到平分一般四边形面积，使学生能够沿着这条思路领会到数学知识深化发展的动态过程，从而把“结果”教学转变为“过程”教学.学生通过体验实际问题的解决过程，感受平移、旋转等变换之间的关系以及应用的价值，理解平分各种四边形面积的不同方法，这一切都为发展学生的思维能力提供了丰富的操作手段.