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用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除4

发布网友发布时间：2023-09-20 20:49

共2个回答

热心网友时间：2024-10-16 11:19

题目出错了！我用excel验证了，题目应当如下。
题：用数学归纳法证明f(n)=4^(2n+1)+3^(n+2)能被13整除
证：
n=1时:f(n)=64+27=91==0 mod 13
假设f(n)==4*16^n+9*3^n==0 mod 13.
f(n+1)=4*16*16^n+9*3*3^n==f(n)+60*16^n+18*3^n==0-5*16^n+5*3^n
==-5(16^n-3^n)==-5(3^n-3^n)==0
得证。

事实上，由上面的过程可以看出，不用归纳法也能证的：
4^(2n+1)+3^(n+2) mod 13
==4*16^n+9*3^n
==4*3^n+9^3^n
==0

热心网友时间：2024-10-16 11:20

当n=1时

4^(2n+1)+3^(n+2)=4^3+3^3=91=7×13，能被13整除

当n=k（k≥1）时，能被13整除

4^(2k+1)+3^(k+2)=13×m （m为整数）

当n=k+1时

4^(2n+1)+3^(n+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=16×4^(2k+1)+3×3^(k+2)

=13×4^(2k+1)+3×4^(2k+1)+3×3^(k+2)

=13×4^(2k+1)+3×(4^(2k+1)+3^(k+2))=13*×4^(2k+1)+3×13×m

∴该命题成立

亲：铱米安。

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