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最小二乘法和梯度下降法有哪些区别?

发布网友发布时间：2022-04-25 20:05

共3个回答

热心网友时间：2022-04-14 20:13

最小二乘法的目标：求误差的最小平方和，对应有两种：线性和非线性。线性最小二乘的解是closed-form即，而非线性最小二乘没有closed-form，通常用迭代法求解。
迭代法，即在每一步update未知量逐渐*近解，可以用于各种各样的问题（包括最小二乘），比如求的不是误差的最小平方和而是最小立方和。
梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题（线性和非线性都可以）。高斯-牛顿法是另一种经常用于求解非线性最小二乘的迭代法（一定程度上可视为标准非线性最小二乘求解方法）。
还有一种叫做Levenberg-Marquardt的迭代法用于求解非线性最小二乘问题，就结合了梯度下降和高斯-牛顿法。所以如果把最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种，是求解线性最小二乘的一种，高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt则能用于求解非线性最小二乘。
具体可参考维基百科（Least squares, Gradient descent, Gauss-Newton algorithm, Levenberg-Marquardt algorithm）
machine learning 的东西, 所以才会有此问题. 但正如其他人指出的, 其实两种方法并不太具有可比性. 不过我当时在学的时候也有类似的问题. 当时我的问题是, 最小二乘法的矩阵解法和梯度下降法的区别在哪里? 我估摸着其实, 在计算量方面, 两者有很大的不同, 因而在面对给定的问题时, 可以有选择性的根据问题的性质选择两种方法中的一个.
具体来说, 最小二乘法的矩阵公式是 , 这里的 A 是一个矩阵, b 是一个向量. 如果有离散数据点, , 而想要拟合的方程又大致形如可能是想问这个问题,。

热心网友时间：2022-04-14 21:31

举个例子，我要优化一个深度神经网络DNN（Deep neural network）的网络参数（换言之，优化此网络对于已知数据拟合结果的正确性），可不可以用最小二乘准则去衡量某一拟合结果相对于标准答案的偏差程度呢？可以。而同时，由于DNN模型本身的复杂性，我们没有办法像线性拟合时那样，在理论和公式的层面求出一个close form solution，因此需要引入所谓的BP算法（实质上就是梯度下降法）进行参数的迭代求解。
But（^_^），上面虽然给出了最小二乘准则+梯度下降法串联使用的例子，但实际的拟合效果必定会比较一般，原因在于DNN这一体系相当于非线性回归，因此最小二乘不好，反而是logistic回归+最大似然=交叉熵准则Cross Entropy在DNN参数优化算法中的更有效和广泛一些。当然，这就是另一个话题了。

热心网友时间：2022-04-14 23:06

通常我们所说的狭义的最小二乘，指的是在线性回归下采用最小二乘准则（或者说叫做最小平方），进行线性拟合参数求解的、矩阵形式的公式方法。所以，这里的「最小二乘法」应叫做「最小二乘算法」或者「最小二乘方法」，百度百科「最小二乘法」词条中对应的英文为「The least square method」。

这里，基于线性回归，有两个细节比较重要：

第一，线性回归的模型假设，这是最小二乘方法的优越性前提，否则不能推出最小二乘是最佳（即方差最小）的无偏估计，具体请参考高斯-马尔科夫定理。特别地，当随机噪声服从正态分布时，最小二乘与最大似然等价。