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施密特正交化的意义

发布网友发布时间：2023-07-09 15:38

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热心网友时间：2023-07-12 18:14

施密特正交化的意义：施密特正交化就是把非正交基变为正交基的。

施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发。

求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

施密特正交化的过程其实就是这种过程的重复。对于两个向量而言，以其中一个向量为基，构建出另一个与之垂直的向量。

具体的构造方法就是利用两个向量的内积得到其中一个向量在基方向的投影向量，然后直接相减，就能得到垂直于基的向量。

这种垂直其实就是来自于向量的内积过程，或者说投影过程。因此我们看到施密特正交化公式中有大量的内积。说起来似乎很复杂，我更喜欢用一句话来概括施密特正交化方法的核心：

对于一个向量α和另一个基向量β，把α向量中与β向量平行的部分减去，剩下的就是和β向量垂直的部分

这里平行于β向量的部分自然就是指α在β方向上的投影向量。把α向量看成是由β向量和垂直于β的向量的线性组合，可以很自然地得到上面的结论，这也是另一种理解方式。

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