梅涅劳斯定理证明三角形三条高线交于一点
发布网友
发布时间：2022-04-25 08:26
我来回答
共2个回答
热心网友
时间：2023-11-09 00:21
梅涅劳斯（menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△abc的三边ab、bc、ca或其延长线交于f、d、e点，那么af/fb×bd/dc×ce/ea=1。
它的逆定理也成立：若有三点f、d、e分别在的边ab、bc、ca或其延长线上，且满足af/fb×bd/dc×ce/ea=1，则f、d、e三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
编辑本段梅涅劳斯(menelaus)定理证明
证明一：
过点a作ag∥bc交df的延长线于g,
则af/fb=ag/bd
,
bd/dc=bd/dc
,
ce/ea=dc/ag。
三式相乘得：(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=(ag/bd)×(bd/dc)×(dc/ag)=1
证明二：
过点c作cp∥df交ab于p，则bd/dc=fb/pf，ce/ea=pf/af
所以有af/fb×bd/dc×ce/ea=af/fb×fb/pf×pf/af=1
它的逆定理也成立：若有三点f、d、e分别在△abc的边ab、bc、ca或其延长线上，且满足(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1，则f、d、e三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：
过abc三点向三边引垂线aa'bb'cc'，
所以ad：db=aa'：bb'，be：ec=bb'：cc'，cf：fa=cc'：aa'
所以(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1
证明四：
连接bf。
（ad：db）·（be：ec）·（cf:fa)
=（s△adf：s△bdf）·（s△bef：s△cef）·（s△bcf：s△baf）
=（s△adf：s△bdf）·（s△bdf：s△cdf）·（s△cdf：s△adf）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△abc的三边bc、ca、ab或其延长线上分别取l、m、n三点，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。于是l、m、n三点共线的充要条件是λμν=1。
编辑本段角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若e，f，d三点共线，则
(∠acf/∠fcb)(∠bad/∠dac)(∠cba/∠abe)=1
即图中的蓝角之积等于红交之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
热心网友
时间：2023-11-09 00:22
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
热心网友
时间：2023-11-09 00:21
梅涅劳斯（menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△abc的三边ab、bc、ca或其延长线交于f、d、e点，那么af/fb×bd/dc×ce/ea=1。
它的逆定理也成立：若有三点f、d、e分别在的边ab、bc、ca或其延长线上，且满足af/fb×bd/dc×ce/ea=1，则f、d、e三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
编辑本段梅涅劳斯(menelaus)定理证明
证明一：
过点a作ag∥bc交df的延长线于g,
则af/fb=ag/bd
,
bd/dc=bd/dc
,
ce/ea=dc/ag。
三式相乘得：(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=(ag/bd)×(bd/dc)×(dc/ag)=1
证明二：
过点c作cp∥df交ab于p，则bd/dc=fb/pf，ce/ea=pf/af
所以有af/fb×bd/dc×ce/ea=af/fb×fb/pf×pf/af=1
它的逆定理也成立：若有三点f、d、e分别在△abc的边ab、bc、ca或其延长线上，且满足(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1，则f、d、e三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：
过abc三点向三边引垂线aa'bb'cc'，
所以ad：db=aa'：bb'，be：ec=bb'：cc'，cf：fa=cc'：aa'
所以(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1
证明四：
连接bf。
（ad：db）·（be：ec）·（cf:fa)
=（s△adf：s△bdf）·（s△bef：s△cef）·（s△bcf：s△baf）
=（s△adf：s△bdf）·（s△bdf：s△cdf）·（s△cdf：s△adf）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△abc的三边bc、ca、ab或其延长线上分别取l、m、n三点，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。于是l、m、n三点共线的充要条件是λμν=1。
编辑本段角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若e，f，d三点共线，则
(∠acf/∠fcb)(∠bad/∠dac)(∠cba/∠abe)=1
即图中的蓝角之积等于红交之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
热心网友
时间：2023-11-09 00:22
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
