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裂项求和法

发布网友 发布时间:2022-05-01 01:18

我来回答

1个回答

热心网友 时间:2022-06-21 19:35

你看看这个吧,希望对你有帮助。
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(裂项)

sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)

1-1/(n+1)

n/(n+1)
[例2]
【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)
的前n项和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)

sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)

(n-1)n(n+1)/3
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意:
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)
附:数列求和的常用方法:
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和:如an=2n+3n
2、错位相减法求和:如an=n·2^n
3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如an=
n
5、求数列的最大、最小项的方法:

an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3

(an>0)
如an=

an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列
中,有关sn
的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当
a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得sm取最大值.
(2)当
a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
希望能解决您的问题。
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