正定二次型
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发布时间：2024-07-03 03:36
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时间：2024-07-09 21:38
定义：正定的精髓
当每一个非零实数向量
(x_1, x_2, ..., x_n)与实二次型
Q(x) = x^T A x相乘，结果总是正的，即
Q(x) >0，我们称这样的二次型
A为正定的。这种性质使得正定性在数学领域中具有重要地位。
命题：正定型的不变性
非退化实线性变换，即通过一个可逆矩阵
P，可以保持二次型的正定性。如果原二次型
Q(x)是正定的，经过这样的变换后，得到的新形式
P^T A P依然保持正定性。
证明过程
假设原二次型
Q(x)的矩阵表示为
A，经过非退化变换
P后，得到
B = P^T AP。对于任意向量
y = Px，有
Q'(y) = y^T B y = (Px)^T P^T A P (Px) = x^T A x = Q(x)。由于
P可逆，
y与
x有相同的性质，即
y不全为零时，
Q'(y)必为正。从而证明了非退化实线性替换确实保持了正定型。
正定二次型的性质与指数
一个具有
n自由度的实二次型
Q(x)如果正定，其正惯性指数恰好等于
n。这意味着在规范形表示中，
Q(x)可以写成正交矩阵
O的平方和的形式，即
Q(x) = x^T O^T O x。
对称矩阵的正定性
若一个实对称矩阵
B的二次型
Q(x)正定，那么
B自身就是正定矩阵，其行列式
\det(B) >0，这是正定性的重要标志。
顺序主子式的威力
对于正定二次型
Q(x)，其矩阵
A的顺序主子式全为正，这是证明正定性的有力工具。主子式的正性确保了
Q(x)与向量
x的交互始终是正的。
半正定与负定的界定
相反，如果对于所有向量，
Q(x) \geq 0（包括零向量），那么称
Q(x)为半正定；若
Q(x) \leq 0，则为半负定。如果既非半正定也非半负定，二次型就被定义为不定的。
正定二次型的等价条件
对于实对称二次型
Q(x)，若它是半正定的，那么它的正负惯性指数与秩相等，并且存在实可逆矩阵
P使得
P^T AP的主子式全大于零或等于零，这揭示了正定性的深刻内涵。
什么是正定二次型
正定二次型是一种特殊的二次型。详细解释如下：定义 正定二次型是一种在实数域上的二次齐次多项式，其对应的矩阵是实对称矩阵。当一个二次型的主对角元素均为正数时，该二次型被称为正定的。也就是说，对于任何非零实数向量x，当x不为零向量时，该二次型的值总是大于零。性质 正定二次型的实...
什么是正定二次型?
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAX > 0，其中A是对称矩阵。如果一个二次型是正定的，那么它的行列式一定大于0。证明如下：假设A是一个n阶对称矩阵，且A是正定的。我们要证明det(A) > 0。根据正定二次型的定义，对于任意非零向量x，都有x^TAX > 0。取x为矩阵A的特征向量，即Ax ...
正定二次型的性质
A的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）。2、若n阶实对称矩阵A和B正定，K为实数，则，①A（逆）、A（伴随矩阵）、A+B均正定；②KA正定K>0；③AB正定AB=BA。正定二次型 若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是...
正定二次型的判定方法
1、特征值法：对于二次型矩阵A，若其所有特征值都是正的，即A的所有特征值大于零，则该二次型为正定二次型。这是因为对于任意的非零向量x，如果存在一个特征值对应的特征向量是x，那么这个特征值与x的内积就会大于零。2、顺序主子式法：对于二次型的矩阵A，如果其顺序主子式（即主对角线上的子...
正定二次型是什么?
正定二次型：若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。判定方法：1，行列式法 对于给定的二次型 ，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。2，正惯性指数法 对...
如何判断矩阵正,负定二次型?
判断一个矩阵是正定，负定二次型的步骤如下：1、正定二次型和负定二次型的基本定义：2、判定正定二次型的充要条件：3、矩阵是正定，负定二次型基本推论：4、求二次型是否正定：5、判断二次型的正定性：6、判断二次型的正负：7、正定二次型的简单性质，这样判断一个矩阵是正定，负定二次型的...
什么是正定二次型?
正定二次型是线性代数中的一个概念，它是指具有以下性质的二次型：对于任意非零向量x，二次型f(x)的值为正数。具体来说，一个二次型f(x)是对称矩阵A与向量x的乘积，即f(x) = xTAx，其中A是一个n×n的对称矩阵。如果对于任意非零向量x，都有f(x) > 0，则称二次型f(x)是正定的。正...
正定二次型可以等于0吗
正定二次型可以等于0。正定二次型是指对于任何非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是一个二次多项式函数。但当二次型的系数矩阵的行列式为0时，这个二次型就成为了退化二次型。当退化二次型的取值为0时，就等于0。正定二次型可以等于0，但这时已经不再是正定二次型了。
什么是正定二次型?
正定二次型的定义是：若对任何非零向量x，实二次型，如果对任何x≠0都有（x）>0（显然（0）=0），则称为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为Q（x）=x^TAx的形式，其中x=（x1,x2,...,xn）是n维列向量，A是一个n*n的实...
正定二次型
正定二次型是数学中一个重要的概念，它具有许多基本性质。这些性质包括线性变换保持正定性、半正定矩阵的主对角线元素非负等。正定二次型的判断方法通常包括六个充分条件和两个必要条件。六个充分条件是：（1）二次型矩阵为对称矩阵；（2）二次型矩阵的主对角线元素全为正；（3）二次型矩阵的行列式为...
