频率域中正演方法的特点

发布网友 发布时间：2024-07-03 22:35

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热心网友 时间：2024-07-04 18:23

从理论上可以证明重磁异常正演方法的频谱有一系列的特点和优点。

1.3.1 三度体异常谱与二度体异常谱之间的关系

当截面形状相同且物性参数的分布相同时，该三度体异常谱与水平二度体异常谱之间有着很有意义的关系，以重力异常为例，对二度体有

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式中：G为引力常数；S为水平二度体的截面；σ（x，z）为S内（x，z）点的密度。当然可以取S为下半空间，这时有

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若将积分写成褶积形式，有

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上式中*号表示褶积，由此可求出Δg的频谱为

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由傅氏变换，有关系

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且定义

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则

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另外对于三度体有

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式中V为体积，同样可取为下半空间，则

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写成褶积形式，由于

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所以

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所以Δg的谱为

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而由傅氏变换表示，有

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于是

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式中

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当v=0时

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将式（1.3.3）和式（1.3.1）对比可见，只要密度分布有相同的形式，即σ（u，0，z）=

（ω，z），则有

S_g（u，0）=S_g（ω） （1.3.4）

该式说明在频率域中三度体异常的频谱，在通过原点的剖面内与相应截面的二度体的频率有相同的表示式。它们两者的曲线具有相同的形式，这样的一致性给在频率域中解释三度体异常带来很大的方便。对三度体频谱通过原点的曲线可按二度体的公式进行迭代求解，从而可使解释的参数大为减少，便于提高计算的速度和解释的可靠性。

1.3.2 频率域中重磁异常正演

下面我们要证明，任何均匀磁化（或均匀密度）的磁力（或重力）异常在空间域中可表示成两个函数的褶积，这样在频率域中场的谱便能表示为这两个函数傅氏变换的乘积，褶积变为乘积可大大减小计算工作量。

首先，我们可以证明在空间域中，均匀密度或均匀磁化物体的重磁位和异常，可表示为与物体几何形状有关的函数S（x，y，z）和一个与测点位置有关的函数的褶积。

例如，偶极子的磁位由泊松公式可表示为

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式中

为磁化强度向量；

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r²=（x_k-x）²+（y_k-y）²+（z-z_k）²

x、y、z为偶极子的坐标；x_k、y_k、z_k为测点的坐标。

由褶积定义，任何函数f（x，y，z）可表示为

δ（x_k-x，y_k-y，z_k-z）*f（x_k，y_k，z_k）=f（x_k-x，y_k-y，z_k-z）

这里*表示褶积，δ为三维脉冲函数。因此

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将上式代入偶极子磁位表示式中可得

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式中L、K、N为

的方向余弦，上式可简写为

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这里S是与物体几何形状有关的函数，而

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只与测点位置有关，称为格林函数。

图1.12 正长方体的图示

对于正长方体的情况，如图1.12所示，它的磁位可表示为

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而长方体的几何性质函数表示为

S（x_k，y_k，z_k）=［u（x_k-x₁，y_k-y₁，z_k-z₁）-u（x_k-x₂，y_k-y₂，z_k-z₂）］（1.3.9）

式中u为三维阶梯函数，对于一维阶梯函数，定义为

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则由褶积定义有

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所以

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将上式推广到三维情况，有

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将上式代入式（1.3.8）中可得

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将该式与偶极子的磁位式（1.3.5）相比，公式中只有S的内容改变了，而格林函数不变，因此上式有普遍的意义，对不同的物体只是S不同。

设

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则式（1.3.10）亦可写为

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上式中U=U（x_k，y_k，z_k），d=d（x_k，y_k，z_k），∂r 为在磁化强度向量方向上的单位长度。

这样磁异常可表示为

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上式中t为地磁场T₀的方向。同样重力异常可表示为

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下面我们以ΔT为例，推导一下异常的频率表示。由上面两公式可见，异常的谱可表示为S（x_k，y_k，z_k）和格林函数傅氏变换的乘积。将褶积变成乘积，这在数值计算中是很方便的。

设A（u，v，w）和B（u，v，w）是S（x_k，y_k，z_k）和G（x_k，y_k，z_k）的傅氏变换，则ΔT的谱为

S_T（u，v，w）=A（u，v，w）*B（u，v，w） （1.3.14）

又设D（u，v，w）为d（x_k，y_k，z_k）的傅氏变换，即

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取

，则在x_k上的变换为

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式中K₀是自变量为pu的修正零阶贝塞尔函数。再将p代入上式中，对y_k变换

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其中Q²=u²+v²，再对z_k变换有

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最后可写出

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在式（1.3.12）的格林函数表示式中有

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且

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这里（l，k，n）为t方向的方向余弦。由傅氏变换性质有

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由此可得ΔT的谱为

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式中A（u，v，w）的形式是随物体形状而不同的。例如，对正方体，它的 S（x_k，y_k，z_k）如式（1.3.9）所示，其傅氏变换便可求出

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将上式代入式（1.3.15）中，即得正方体ΔT磁异常的谱表示。若在某一平面上观察磁场，则可以简化。设坐标原点取在长方体中心的上方，即x₂=-x₁=x，y₂=-y₁=y，则有

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式中

而α₁₂=Lk+Kl，α₁₃=Ln+Nl，α₂₃=Kn+Nk；

为格林函数的傅氏变换。]]

总结以上过程，计算磁异常的步骤为：①求物体格林函数的傅氏变换；②求与物体几何形状有关的S函数的傅氏变换；③由两个变换的乘积可以得到异常傅氏变换；④将所得到的异常傅氏变换用快速傅氏变换方法计算异常。根据试验，用以上方法计算异常比用一般空间域方法计算异常几乎快一倍，计算精度可达0.5% ～1.3%。